<p>　　薛凤祚杜知耕 龚士燕 王锡阐潘柽樟 方中通揭暄梅文鼎子以燕 孙瑴成 曾孙钫 弟文鼐 文鼏 明安图子新陈际新 张肱刘湘煃 王元启 朱鸿 博启 许如兰</p><p>　　推步之学，由疏渐密。泰西新法，晚明始入中国，至清而中、西薈萃，遂集大成。圣祖聪明天亶，研究历算，妙契精微。一时承学之士，蒸蒸乡化，肩背相望。二百年来，推步之学，日臻邃密，匪特辟古学之榛芜，抑且补西人之罅漏。嘉庆初，阮元撰畴人传，后学一再续之，唐、宋以来，於斯为盛。今甄其卓然名家者著於篇，其政事、文学登於列传及儒林、文苑者；西人官钦天监，厕於卿贰，各自有传者：不具列焉。</p><p>　　薛凤祚，字仪甫，淄川人。少习算，从魏文魁游，主持旧法。顺治中，与法人穆尼阁谈算，始改从西学，尽传其术，因著算学会通正集十二卷，考验二十八卷，致用十六卷。其曰对数比例者，乃西算以假数求真数之便法也；曰中法四线，以西法六十分为度，不便以十进位，改从古法，以百分为度，所列止正弦、馀弦、正切、馀切，故曰四线。其推步诸书：曰太阳太阴诸行法原，曰木火土三星经行法原，曰交食法原，曰历年甲子，曰求岁实，曰五星高行，曰交食表，曰经星中星，曰西域回回术，曰西域表，曰今西法选要，曰今法表，皆会中、西以立法。以顺治十二年乙未天正冬至为元，诸应皆从以起算。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微为岁实，黄、赤道交度有加减，恒星岁行五十二秒，与天步真原法同。梅文鼎谓其书详於法，而无快论以发其趣，盖其时新法初行，中、西文字辗转相通，故词旨未能尽畅。然贯通其中、西，要不愧为一代畴人之功首云。</p><p>　　凤祚定岁实秒数为五十七，与奈端合，与穆尼阁以为四十五秒者不同，则其学非墨守穆氏可知。或讥其谨守穆尼阁成法，依数推衍，非笃论也。</p><p>　　杜知耕，字端甫，号伯瞿，柘城举人。精研几何，以利玛窦、徐光启所译几何原本复加删削，作几何论约七卷，后附十条，则知耕所作也。言其法似为本书所无，其理实涵各题之内，非能于本书之外别生新义也。称后附者，以别于丁氏、利氏之增题也。又杂取诸家算学，参以西人之说，依古九章为目，作数学钥六卷。言数非图不明，图非指不明，图中用甲乙等字作志者，代指也，故其书于图解尤详。梅文鼎称其图註九章，颇中肯綮云。</p><p>　　龚士燕，字武任，武进人。少颖异能文，讲求性理，旁通算术，发明蔡氏律吕新书，推演黄锺圜径、开方密率诸法，而於元太史郭守敬授时术尤得其秘。如求冬至时刻，上推百年加一算，以为岁周三百六十五日二十四刻二十五分之内，满百年消长一分。核之春秋日食三十七事，多与符合。又如推晦、朔、弦、望，以太阳之盈与太阴之迟，以太阴之疾与太阳之缩皆相并，为同名相从；以太阳之盈与太阴之疾，以太阴之迟与太阳之缩皆相减，为异名相消：乃得盈缩迟疾化为加减时刻之差。以此加减朔望之大、小馀分，得定朔弦望诸时刻。至盈、缩、迟、疾，郭守敬创平、立、定三差，理隐数繁，能审其机括，绘图以明之。</p><p>　　又如赤道变黄道之法，谓在二至后者，以度率一零八六五除赤道积度变为黄道宿度；在二分后者，以度率一零八六五乘赤道积度变为黄道宿度。凡此授时之术，引伸益明。其馀月离五星等法，与回回、西洋诸算，遇有疑难，无不洞悉。至日、月体径有大小，交食限数有浅深，具见其奥。且悟唐顺之弧容直阔之法，以推求太阴出入黄道，在内在外，不离乎六度。自是一应七政、气朔、交食诸端，按法而推，百不失一。</p><p>　　康熙六年，诏募天下知算之士，於是入都。其时钦天监用大统算七政多不合天，奉旨在观象台每日测验，而金星比算差至十度。因修改古法，乃据七年所测表景推测太盈缩，又据日测五星行度，考其迟疾。彼此推求加减，气、闰、转、交诸应，测验皆与天合。盖其法亦本郭守敬，太阳为气应，推冬至日躔用之；太阴周天为转应，朔望用之；日月地球之运，同在一直线，视点上为交应，推日月食用之；合气盈、朔虚之奇零为闰应，推闰月用之；此外又有金、木、水、火、土同聚一宿为合应，推五星用之。</p><p>　　修改诸应，取顺治元年甲申为元，以应世祖章皇帝抚有中夏之祥，钦天监名为“改应法”。既改气、闰、转、交诸应，复改迟、疾限及求差诸法，又改冬至黄道日出分依步中星内法。又盈缩迟疾无积度，日食无时差，皆与天合。台官交章保荐。八年，历书告成，奏对武英殿，授历科博士。时有荐西人南怀仁等於朝，及其实测诸术，验且捷，遂定用西法，而古历卒不行。</p><p>　　十年，以疾归，著有象纬考一卷、历言大略一卷。其天体论一卷及闇虚、中星、交食、定朔、五星诸论俱佚。</p><p>　　王锡阐，字晓菴，吴江人。兼通中、西之学，自立新法，用以测日、月食不爽秒忽。每遇天晴霁，辄登屋卧鸱吻察星象，竟夕不寐。著晓庵新法六卷，序曰；“炎帝八节，历之始也，而其书不传。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁七历，先儒谓系伪作。今七历俱存，大指与汉历相似，而章蔀气朔，未睹其真，为汉人所讬无疑。太初、三统，法虽疏远，而创始之功，不可泯也。刘洪、姜岌，次第阐明，何、祖专力表、圭，益称精切。自此南、北历象，率能好学深思，多所推论，皆非浅近所及。唐历大衍稍密，然开元甲子当食不食，一行乃为谀词以自解，何如因差以求合乎？”</p><p>　　又曰：“明初元统造大统历，因郭守敬遗法，增损不及百一，岂以守敬之术果能度越前人乎？守敬治历，首重测日，余尝取其表景，反覆布算，前后牴牾。馀所创改，多非密率。在当日已有失食失推之咎，况乎遗籍散亡，法意无徵。兼之年远数盈，违天渐远，安可因循不变耶？元氏艺不逮郭，在廷诸臣，又不逮元，卒使昭代大典，踵陋袭伪。虽有李德芳苦争之，然德芳不能推理，而株守陈言，无以相胜，诚可叹也！”</p><p>　　又曰：“万历季年，西人利氏来华，颇工历算。崇祯初，命礼臣徐光启译其书，有历指为法原，历表为法数，书百馀卷，数年而成，遂盛行于世。言历者莫不奉为俎豆。吾谓西历善矣，然以为测候精详可也，以为深知法意未可也。循其理而求通，可也；安其误而不辨，不可也。姑举其概：二分者，春、秋平气之中；二至者，日道南、北之中也。大统以平气授人时，以盈缩定日躔。西人既用定气，则分、正为一，因讥中历节气差至二日。夫中历岁差数强，盈缩过多，恶得无差？然二日之异，乃分、正殊科，非不知日行之朓朒而致误也。历指直以怫己而讥之，不知法意一也。诸家造历，必有积年日法，多寡任意，牵合由人。守敬去积年而起自辛巳，屏日法而断以万分，识诚卓也。西历命日之时以二十四，命时之分以六十，通计一日为分一千四百四十，是复用日法矣。至於刻法，彼所无也。近始每时四分之，为一日之刻九十六。彼先求度而后日，尚未觉其繁，施之中历则窒矣。乃执西法反谓中历百刻不適于用，何也？且日食时差法之九十有六，与日刻之九十六何与乎？而援以为据，不知法意二也。天体浑沦，初无度分可指，昔人因一日日躔命为一度，日有疾徐，断以平行，数本顺天，不可损益。西人去周天五度有奇，敛为三百六十，不过取便割圜，岂真天道固然？而党同伐异，必曰日度为非，讵知三百六十尚非天真有此度数乎？不知法意三也。上古置闰，忄互于岁终，盖历术疏阔，计岁以置闰也。中古法日趋密，始计月以置闰，而闰于积终，故举中气以定月，而月无中气者即为闰。大统专用平气，置闰必得其月，新法改用定气，致一月有两中气之时，一岁有两可闰之月，若辛丑西历者，不亦盭乎！夫月无平中气者，乃为积馀之终，无定中气者，非其月也。不能虚衷深考，而以卤莽之习，侈支离之学，是以归馀之后，气尚在晦；季冬中气，已入仲冬；首春中气，将归腊杪。不得已而退朔一日以塞人望，亦见其技之穷矣，不知法意四也。天正日躔，本起子半，后因岁差，自丑及寅。若夫合神之说，乃星命家猥言，明理者所不道。西人自命历宗，何至反为所惑，谓天正日躔定起丑初乎？况十二次命名，悉依星象，如随节气递迁，虽子午不妨异地，岂玄枵、鸟咮亦无定位耶？不知法意五也。岁实消长，昉于统天，郭氏用之，而未知所以当用；元氏去之，而未知所以当去。西人知以日行最高求之。而未知以二道远近求之，得其一而遗其一。当辨者一也。岁差不齐，必缘天运缓疾，今欲归之偶差，岂前此诸家皆妄作乎？黄、白异距，生交行之进退；黄、赤异距，生岁差之屈伸；其理一也。历指已明於月，何蔽于日？当辨者二也。日躔盈缩最高，斡运古今不同，揆之臆见，必有定数。不惟日月星应同，但行迟差微，非毕生岁月所可测度耳。西人每诩数千年传人不乏，何以亦无定论？当辨者三也。日月去人时分远近，儿径因分大小，则远近大小，宜为相似之比例。西法日则远近差多，而儿径差少；月则远近差少，而儿径差多。因数求理，难会其通。当辨者四也。日食变差，机在交分，日轨交分，与月高交分不同；月高交於本道，与交於黄道者又不同。历指不详其理，历表不著其数，岂黄道一术足穷日食之变乎？当辨者五也。中限左右，日月儿差，时或一东一西。交、广以南，日月儿差，时或一南一北。此为儿差异向与儿差同向者加减迥别，历指岂以非所常遇，故置不讲耶？万一遇之，则学者何以立算？当辨者六也。日光射物，必有虚景，虚景者，光径与实径之所生也。闇虚恒缩，理不出此。西人不知日有光径，仅以实径求闇虚。及至推步不符，复酌损径分以希偶合。当辨者七也。月食定望，惟食甚为然，亏复四限，距望有差。日食稍离中限，即食甚已非定朔。至于亏复，相去尤远。西历乃言交食必在朔、望，不用朓朒次差。当辨者八也。”</p><p>　　又曰：“语云：‘步历甚难，辨历甚易。’盖言象纬森罗，得失无所遁也。据彼所说，亦未尝自信无差。五星经度，或失二十馀分，躔离表验，或失数分，交食值此，所失当以刻计；凌犯值此，所失当以日计矣。故立法不久，违错颇多，余於历说已辨一二。乃癸卯七月望食当既不既，与夫失食失推者何异乎？且译书之初，本言取西历之材质，归大统之型范，不谓尽隳成宪，而专用西法，如今日者也。余故兼采中、西，去其疵类，参以己意，著历法六篇，会通若干事，改正若干事，表明若干事，增辑若干事，立法若干事。旧法虽舛，而未遽废者，两存之；理虽可知，而上下千年不得其数者，缺之；虽得其数，而远引古测，未经目信者，别见补遗，而正文仍袭其故。为日一百几十有几，为文万有千言，非敢妄云窥其堂奥，庶几初学之津梁也。”</p><p>　　其法：度法百分，日法百刻，周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤，内外准分三十九分九十一秒四十九微，次准九十一分六十八秒八十六微，黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纤。列宿经纬：角一十度七十三分七十九秒，南二度一分二十三秒，亢一十度八十二分二十四秒，北三度一分一秒，氐一十八度一十六分一十四秒，北四十三分九十六秒，房四度八十三分六十三秒，南五度四十六分一十九秒，心七度六十六分二秒，南三度九十七分三十八秒，尾一十五度八十二分七十八秒，南一十五度二十一分九十秒，箕九度四十六分九十六秒，南六度五十九分四十九秒，南斗二十四度一十九分八十二秒，南三度八十八分九十三秒，牵牛七度七十九分五十五秒，北四度七十五分一十七秒，婺女一十一度八十二分二秒，北八度二十分五十九秒，虚一十度一十二分九十一秒，北八度八十二分七十秒，危二十度四十一分四秒，北一十度八十五分六十二秒，营室一十五度九十二分二十秒，北一十度七十一分七十一秒。</p><p>　　先是晓菴新法未成，作历说六篇，历策一篇，其说精核，与新法互有详略。又隐括中、西步术，作大统西历启蒙。丁未岁，因推步大统法作丁未历稿。辛酉八月朔日食，以中、西法及己法豫定时刻分秒，至期，与徐发等以五家法同测，己法独合，作推步交朔测小记。又以治历首重割圜，作圜解。测天当据仪晷，造三晷，兼测日、月、星，因作三辰晷志。俱能究术数之微奥，补西人所不逮。与同时青州薛凤祚齐名，称“南王北薛”云。历策有云：“每遇交会，必以所步、所测课较疏密，疾病寒暑无间，变周、改应、增损、经纬、迟疾诸率，于兹三十年所。”亦可以想见作者实测之诣力矣。</p><p>　　潘柽樟，字力田。与王锡阐同邑友善。锡阐尝馆其家，讲论算法，常穷日夜。柽樟著辛丑历辨曰：“昔尧命羲和，曰以闰月定四时成岁，盖历法首重置闰。而春秋传曰：‘先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。’所谓始者，取气朔分齐为历元也；所谓中者，月以中气为定，无中气者则为闰也；所谓终者，积气盈、朔虚之数而闰生焉也。自汉以降，历术虽屡变，未有能易此者。唯西域诸历则不然，其法有闰年、有闰日，而无闰月。盖中历主日，而西历主度，不可强同也。今之为西历者，乃以日躔求定气、求闰月，不惟尽废中国之成宪，而亦自悖西域之本法矣。故十馀年来，宫度既紊，气序亦讹。如戊子之闰三月也，而置在四月；庚寅之闰十一月也，而置在明年之二月；癸巳之闰七月也，而置在六月；己亥之闰正月也，而置在三月。其为舛误，何可胜言！然非深于历者，未易指摘。至于辛丑之闰月，则其失显然无以自解矣。何也？闰法论平气而不当论定气，若以平气，则是年小雪在十月晦，冬至在十一月朔，而闰在两月之间。所谓闰前之月中气在晦，闰后之月中气在朔者也。今以定气，则秋分居九月朔，故预于七月朔置闰，然后秋分仍在八月，而霜降、小雪各归其月。无如大寒定气乃在十一月朔，而十二月又无中气，既不可再置一闰，则是同一无中气之月，而或闰或否。彼所云太阳不及交宫即置为闰者，何独於此而自背其法乎？盖孟秋非归馀之终，故天正不能履端於始，地正不能举正於中也。如此，则四时不定，岁功不成，而闰法又安用之？且壬寅正月，定朔旧法在丙子丑初，即彼法亦在丙子子正，则辛丑之季冬当为大尽，而明年正月中气复移於今岁之秒。彼亦自觉其未安，故进岁朔於乙亥，而季冬为小尽之月，皆所谓欲盖弥彰者耳。即辛丑岁朔，以彼法推，当会於亥正，而今在戌正，差至六刻，其他牴牾，更难枚举。噫！作法如是，而犹自以为尽善，可乎？盖其说以日行盈缩为节气短长，每遇日行最盈，则一月可置一气，是古有气盈、朔虚，而今更有气虚、朔盈矣。然或晦朔两节而中气介其间。如丙戌仲冬，去闰稍远，犹可不论；独辛丑仲冬，冬至、大寒俱在晦朔，去闰最近，进退无据。苟且迁就，有不胜其弊者。夫闰法之主平气，行之已数千年矣，今一变其术，未久而辄穷，至於无可如何，则又安取纷更为也！”柽樟后坐法死。弟耒，亦学历算，见文苑传。</p><p>　　方中通，字位伯，桐城人。集诸家之说，著数度衍二十四卷，附录一卷。言：“九章皆出於句股，环矩以为圆，合矩以为方，方数为典。以方出圆，句股之所生也；少广，方圆所出也。方田、商功，皆少广所出。一方一圆，其间不齐，始出差分，而均输对差分之数，盈朒借差求均。又差分、均输所出，而以方程济其穷。度量衡原出黄锺，粟布出焉，黄锺出於方圆者也。”又言：“古法用竹径一寸长六分二百七十一而成六觚为一握，后世有珠算而古法亡矣。泰西之笔算、筹算，皆出九九。尺算即比例规，出三角。乘莫善於筹，除莫善於笔，加减莫善於珠，比例莫善於尺。”其珠算归法，三一三十一，四一二十二之类，“十”字俱作“馀”字。其尺算以三尺交加，取数祗用平分一线。时广昌揭暄亦明算术，与中通论难日轮大小，得光肥影瘦之故，及古今岁差之不同，须测算消长以齐之。一昼夜人一万三千五百息，每息宗动天行十万里有奇。别录为一书，曰揭方问答。</p><p>　　揭暄，字子宣，广昌人。著璇玑遗述七卷，一名写天新语。论日月东行如槽之滚丸，而月质不变。又谓七政之小轮。皆出自然，如盘水之运旋而周遭，以行疾而成旋涡，遂成留逆。於五星西行，日月盈缩，皆设譬多方，言之近理。康熙己巳，以草稿寄梅文鼎，抄其精语为一卷，称其“深明西术，而又别有悟入，其言多古今所未发”。卒年逾八十。</p><p>　　梅文鼎，字定九，号勿庵，宣城人。儿时侍父士昌及塾师罗王宾仰观星象，辄了然於次舍运转大意。年二十七，师事竹冠道士倪观湖，受麻孟旋所藏台官交食法，与弟文鼐、文鼏共习之。稍稍发明其立法之故，补其遗缺，著历学骈枝二卷，后增为四卷，倪为首肯。</p><p>　　值书之难读者，必欲求得其说，往往废寝忘食。残编散帖，手自抄集，一字异同，不敢忽过。畴人子弟及西域官生，皆折节造访，有问者，亦详告之无隐，期与斯世共明之。所著历算之书凡八十馀种。</p><p>　　读<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>授时历经，叹其法之善，作<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>历经补註二卷。又以授时集古法大成，因参校古术七十馀家，著古今历法通考七十馀卷。授时以六术考古今冬至，取鲁献公冬至证统天术之疏，然依其本法步算，与授时所得正同，作春秋以来冬至考一卷。<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>西征庚午元术，西征者，谓太祖庚辰；庚午元者，上元起算之端也。历志讹太祖庚辰为太宗，不知太宗无庚辰也。又讹上元为庚子，则於积年不合。考而正之，作庚午元算考一卷。授时非诸古术所能方，郭守敬所著历草，乃历经立法之根，拈其义之精微者，为郭太史历草补註二卷。立成传写鲁鱼，不得其说，不敢妄用，作大统立成註二卷。授时术於日躔盈缩、月离迟疾，并以垛积招差立算，而九章诸书无此术，从未有能言其故者，作平立定三差详说一卷，此发明古法者也。唐九执术为西法之权舆，其后有婆罗门十一曜经及都聿利斯经，皆九执之属。在元则有札马鲁丁西域万年术，在明则马沙亦黑、马哈麻之回回术、西域天文书，天顺时具琳所刻天文实用，即本此书，作回回历补註三卷，西域天文书补註二卷，三十杂星考一卷。表景生於日轨之高下，日轨又因里差变移，作四省表景立成一卷。周髀所言里差之法，即西人之说所自出，作周髀算经补註一卷。浑盖之器，最便行测，作浑盖通测宪图说订补一卷。西国以太阳行黄道三十度为一月，作西国日月考一卷。西术中有细草，犹授时之有通轨也，以历指大意隐括而注之，作七政细草补注三卷。新法有交食蒙求、七政蒙引二书，并逸，作交食蒙求订补二卷、附说二卷。监正杨光先不得已日食图，以金环食与食甚分为二图，而各有时刻，其误非小，作交食作图法订误一卷。新法以黄道求赤道交食，细草用仪象志表，不如弧三角之亲切，作求赤道宿度法一卷。谓中、西两家之法，求交食起复方位，皆以东西南北为言。然东西南北惟日月行至午规而又近天顶，则四方各正其位。非然，则黄道有斜正之殊，而自亏至复，经历时刻，辗转迁移，弧度之势，顷刻易向。且北极有高下，而随处所见必皆不同，势难施诸测验。今别立新法，不用东西南北之号，惟人所见日月员体，分为八向，以正对天顶处为上，对地平处为下，上下联为直线，作十字横线，命之曰左、曰右，此四正向也；曰上左、上右，曰下左、下右，则四隅向也。乃以定其受蚀之所在，则举目可见，作交食管见一卷。太阳之有日差，犹月离交食之有加减时，因表说含糊有误，作日差原理一卷。火星最为难算，至地谷而始密，解其立法之根，作火纬图法一卷。订火纬表记，因及七政，作七政前均简法一卷。天问略取纬不真，而列表从之误，作黄赤距纬图辨一卷。新法帝星、句陈经纬刊本互异，作帝星句陈经纬考异一卷。测帝星、句陈二星为定夜时之简法，作星轨真度一卷。以上皆以发明新法算书，或正其误，或补其缺也。</p><p>　　康熙己未，<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>开局，历志为钱塘吴任臣分修，经嘉禾徐善、北平刘献廷、毗陵杨文言，各有增定，最后以属黄宗羲，又以属文鼎，摘其讹误五十馀处，以算草、通轨补之，作<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>历志拟稿一卷。虽为大统而作，实以阐明授时之奥，补<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>之缺略也。其总目凡三：曰法原，曰立成，曰推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧天割圜，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。立成之目凡四：曰太阳盈缩，曰太阴迟疾，曰昼夜刻，曰五星盈缩。推步之目凡六：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星。</p><p>　　又作历志赘言一卷，大意言：“明用大统，实即授时，宜详<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>缺载之事，以补其未备。又回回历承用三百年，法宜备书。又郑世子历学已经进呈，宜详述。他如袁黄之历法新书，唐顺之、周学述之会通回历，以庚午元历之例例之，皆得附录。其西洋历方今现行，然崇祯朝徐、李诸公测验改宪之功，不可没也，亦宜备载缘起。”</p><p>　　己巳，至京师，谒李光地于邸第，谓曰；“历法至本朝大备矣，而经生家犹若望洋者，无快论以发其趣也。宜略仿元赵友钦革象新书体例，作简要之书，俾人人得其门户，则从事者多，此学庶将大显。”因作历学疑问三卷。</p><p>　　光地扈驾南巡，驻跸德州，有旨取所刻书籍回奏，光地匆遽未及携带，遂以所辢刻历学疑问谨呈。奉旨：“朕留心历算多年，此事朕能决其是非，将书留览再发。”二日后，召见光地，上云：“昨所呈书甚细心，且议论亦公平，此人用力深矣，朕带回宫中仔细看阅。”光地因求皇上亲加御笔，批驳改定，上肯之。</p><p>　　明年癸未春，驾复南巡，於行在发回原书，面谕光地：“朕已细细看过。”中间圈点涂抹及签贴批语，皆上手笔也。光地复请此书疵缪所在，上云：“无疵缪，但算法未备。”盖其书本未完成，故圣谕及之。</p><p>　　未几，圣祖西巡，问隐沦之士，光地以关中李颙、河南张沐及文鼎三人对。上亦夙知颙及文鼎，乙酉二月，南巡狩，光地以抚臣扈从，上问：“宣城处士梅文鼎焉在？”光地以“尚在臣署”对。上曰：“朕归时，汝与偕来，朕将面见。”四月十九日，光地与文鼎伏迎河干，越晨，俱召对御舟中，从容垂问，至于移时，如是者三日。上谓光地曰：“历象算法，朕最留心，此学今鲜知者，如文鼎，真仅见也。其人亦雅士，惜乎老矣！”连日赐御书扇幅，颁赐珍馔。临辞，特赐“绩学参微”四大字。越明年，又命其孙瑴成内廷学习。</p><p>　　五十三年，瑴成奉上谕：“汝祖留心律历多年，可将律吕正义寄一部去，令看，或有错处，指出甚好。夫古帝王有‘都俞吁咈’四字，后来遂止有‘都俞’，即朋友之间，亦不喜人规劝，此皆是私意。汝等须竭力克去，则学问长进。可并将此意写与汝祖知之。”恩宠为古所未有。</p><p>　　文鼎图注各直省及蒙古各地南北东西之差，为书一卷，名分天度里。地既浑员，则所云二百五十里一度，纬度则然，若经度离赤道远，则里数渐狭。故惟路正东西行，自有一定算法；路或斜行，则其法不可用为立法。若两地各有北极高度，又有相距之经度，而无相距里数，是有两边一角，而求馀一边，即可以知斜距之里。若先有斜距之里数而求经度，是为三边求角，亦可以知相距之经度。其法并用斜弧三角形立算，可与月食求经度之法相参，而且简易的确。</p><p>　　文鼎於测算之图与器，一见即得要领，古六合、三辰、四游之仪，以意约为小制，皆合。又自制为月道仪，揆日测高诸器，皆自出新意。尝登观象台，流览新制六仪，及元郭守敬简仪、明初浑球，指数其中利病，皆如素习。其书有测器考二卷，又自鸣钟说一卷，壶漏考一卷，日晷备考一卷，赤道提晷一卷，勿菴揆日器一卷，加时日轨高度表一卷，揆日测说一卷，璇玑尺解一卷，测量定时简法一卷，勿庵测望仪式一卷，勿庵仰观仪式一卷，月道仪式一卷。</p><p>　　其说曰：“月道出入于黄道，犹黄道之出入于赤道也。自古及今，未有为之仪器者。今依浑盖北密南疏之度，以黄极为枢，而月道半在其内，半出其外，则月纬大小之理，及正交、中交、交前、交后之法，可以众著。仪以铜为之，略如浑盖，其上盘为月道，亦如浑盖天盘之黄道圈；其下盘黄道经纬，分宫分度，并以黄极为心，而侭边以黄纬九十五度少半为限。出黄道南五度少半，月道所到也。”</p><p>　　礼部郎中李焕斗尝从文鼎问历法，作答李祠部问历一卷。沧州老儒刘介锡同客天津，问历法，作答刘文学问天象一卷。又言生平於难读之书，每手疏而携诸箧，以待明者问之，於历学尤多，作思问编一卷。纬度以测日高，因知北极为用甚博，古用二至二分，今则逐日可测，承友人之问，作七十二候太阳纬度一卷。潘天成从文鼎学历，而苦于布算，作写历步历法一卷授之。又授时步交食式一卷，文鼎季弟文鼏之稿也。步五星式六卷，文鼎与其仲弟文鼐共成之者也。</p><p>　　文鼎每得一书，皆为正其讹阙，指其得失，又古历列星距度考一卷，从残坏之本，寻其普天星宿，入宿去极度分，中缺二星，又从闽中林侗写本补完之，而断以为授时之法。万历中利玛窦入中国，始倡几何之学，以点线面体为测量之资，制器作图，颇为精密。学者张皇过甚，未暇深考，辄薄古法为不足观；而株守旧法者，又斥西人为异学：两家之说，遂成隔碍。文鼎集其书而为之说，用筹、用尺、用笔，稍稍变从我法。若三角、比例等，原非中法可赅，特为表出。古法方程，亦非西法所有，则专著论，以明古人之精意不可湮没。又为九数存古，以著其概。总为中西算学通例一卷。</p><p>　　馀分九种：一，勿庵筹算七卷。二，笔算五卷。皆易横为直，以便中文。三，度算一卷，原无算例，其弟文鼏补之，而参以嘉禾陈荩谟尺算用法。又有矩算，用一尺一方板，则文鼎所创。四，比例数解四卷。释穆尼阁所译之对数。五，三角法举要五卷。其目有五：曰测量名义，曰算例，曰内容外切，曰或问，曰测量。六，方程论六卷，安溪李鼎徵为刻于泉州。七，几何摘要三卷，就原本删繁补遗。八，句股测量二卷，就周髀、海岛诸术，录要以存古意。九，九九数存古十卷，九数即九章隶首之法，仅存者九章之目耳。后有作者，莫能出其范围。</p><p>　　外有书一十七种为续编：一，少广拾遗一卷。古有一乘方至九乘方相生之图，而莫详所用。后或增之至十乘，惟四乘方与十乘方不可借用他法，因为推演至十二乘方，有条不紊。二，方田通法一卷，算家有捷田二十三法，广之为百二十有四。三，几何补编四卷。几何原本六卷，止於测面，七卷以后，未经译出，取测量全义量体诸率，实考其作法根源，以补原书之未备。而原书二十等面体之说，向固疑其有误者，今乃得其实数。又原本理分中末线，但有求作之法，而莫知所用。今依法求得十二等面及二十等面之体积，因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例。又两体互相容及两体与立方、立员诸体相容各比例，并以理分中末线为法，乃知此线不为徒设。四，西镜录订註一卷。五，权度通几一卷。重学为西术一种，载於比例规解者多譌误，今以南勋卿仪象志互相订补，其数始真。六，奇器补註二卷。关中王公徵奇器图说所述引重转木诸制，并有裨於民生日用，而又本於西人重学，以明其意。尝以书史所传，如汉杜诗作水〈厂义〉以便民，及王氏农书诸水器之类，睹记所及，如刘继庄诗集载筒车灌田法，稍为辑录，以补其所遗，而图与说不相应者正之，以西字为识者易之。七，正弦简法补一卷。大测诸书，言作八线表之法详矣，薛凤祚书有用矢线求度法，为之作图，以明其意。因得两法，在六宗、三要之外，而为用加捷。两法者，一曰正弦方幂倍而退位得倍弧之矢，一曰正矢进位折半得半弧正弦上方幂。八，弧三角举要五卷。历书皆三角法也，内分二支：一曰平三角，一曰弧三角。凡历法所测，皆弧度也，弧线与直线不能为比例，则剖析浑员之体，而各於弧线中得其相当直线。即於无句股中寻出句股，此法之最奇而确者。弧三角之用法虽多，而其最著明者，为黄赤交变一图。反覆推论，了如列眉，熟此一端，则其馀不难推及矣。测量全义第七、第八、第九卷专明此理，而举例不全，且多错谬。其散见诸历指者，仅存用数，无从得其端倪。天学会通圈线三角法，作图草率，往往不与法相应。一以正弧三角为纲，仍用浑仪解之。正弧三角之理，尽归句股。参伍其变，斜弧三角之理，亦归句股矣。其目：曰弧三角体式，曰正弧句股，曰求馀角法，曰弧角比例，曰垂线，曰次形，曰垂弧捷法，曰八线相当。九，环中黍尺五卷。举要中弧度之法已详，然更有简妙之用宜知。测量全义原有斜弧两矢较之例，所立图姑为斜望之形，而无实度可言。今一以平仪正形为主，凡可以算得者，即可以器量。浑仪真象，呈诸片楮，而经纬历然，无丝毫隐伏假借。至於加减代乘除之用，历书举其名不详其说，疑之数十年，而后得其条贯，即初数次数甲数乙数诸法。其目：曰总论，曰先数后数，曰平仪论，曰三极通几，曰初数次数，曰加减法，曰甲数乙数，曰加减捷法，曰加减又法，曰加减通法。十，巉堵测量二卷。古法斜剖立方，成两巉堵形，巉堵又剖为二，成立三角，立三角为量体所必需，然此义皆未发。今以浑仪黄赤道之割切二线成立三角形，立三角本实形，今诸线相遇成虚形，与实形等，而四面皆句股，西法通於古法矣。又于馀弧取赤道及大距弧之割切线，成句股方锥形，亦四面皆句股，即弧度可相求，亦不言角，古法通于西法矣。二者并可以坚楮为仪象之，则八线相为比例之理，了如掌纹。而郭守敬员容方直矢接句股之法，不烦言说而解。其目：曰总论，曰立三角摘要，曰浑员内容立三角，曰句股锥，曰句股方锥，曰方巉堵容员巉堵，曰员容方直仪简法，曰郭太史本法，曰角即弧解。十一，用句股解几何原本之根一卷。几何不言句股，而其理莫能外。故其最难通者，以句股释之则明。惟理分中末线似与句股异源，今为游心於立法之初，仍不外乎句股，益信古句股义包举无遗。徐光启译大测表，名之曰割圜句股八线表，其知之矣。十二，几何增解数则。其目有四：曰以方斜较求斜方，曰切线角与员内角交互相应，曰量无法四边形捷法，曰取平行线简法。并就几何各题而增，不入补编，附前条共卷。十三，仰观覆矩二卷。一查地平经度为日出入方位，一查赤道经度为日出入时刻，并依里差，用弧三角立算，与历书法微别。十四，方员幂积二卷。历书周径率至二十位，然其入算，仍用古率十一与十四之比例，岂非以乘除之际难用多位欤？今以表列之，取数殊易，乃为之约法，则径与周之比例即方、员二幂之比例，亦即为立方、立员之比例，殊为简易直捷。十五，丽泽珠玑一卷。友朋之益，取其有关算学者。十六，算器考一卷。十七，数学星槎一卷。</p><p>　　文鼎历学疑问，曾呈御览，后又引申其说，作历学疑问补二卷，皆平正通达，可为步算家准则。</p><p>　　文鼎为学甚勤，刘辉祖同舍馆，告桐城方苞曰：“吾每寐觉，漏鼓四五下，梅君犹构灯夜诵，乃今知吾之玩日而愒时也。”居京师时，裕亲王以礼延致朱邸，称梅先生而不名。李文贞公命子锺伦从学，介弟鼎徵及群从皆执弟子之礼。宿迁徐用锡，晋江陈万策，景州魏廷珍，河间王之锐，交河王兰生，皆以得与参校为荣。家多藏书，频年游历，手抄杂帙不下数万卷。岁在辛丑，卒，年八十有九。上闻，特命有地治者经纪其丧，士论荣之。</p><p>　　子以燕，字正谋。康熙癸酉举人。於算学颇有悟入，有法与加减同理，而取径特殊，能於恒星历指中摘出致问，文鼎所谓“能助余之思”也。早卒。</p><p>　　瑴成，字玉汝，以燕子。文鼎疑日差既有二根，即宜列二表，瑴成以为：“定朔时既有高卑盈缩之加减矣，复用于此，岂非複乎？”文鼎因其说，然后悟交食之非缺，比之童乌九岁能与太玄。康熙乙未进士，改编修，与修国史。瑴成肄业蒙养斋，以故数学日进。御制数理精蕴、历象考成诸书，皆与分纂。所著增删算法统宗十一卷，赤水遗珍一卷，操缦卮言一卷。</p><p>　　明代算家，不解立天元术，瑴成谓立天元一即西法之借根方，其说曰；“尝读授时历草求弦矢之法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著测圜海镜，亦用天元一立算。传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重，自谓得此中三昧。荆川之说曰：‘艺士著书，往往以秘其机为奇，所谓天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。’而箬溪则言：‘细考测圜海镜，如求城径，即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，即知其数，何用算为？似不必立可也。’二公之言如此，余于顾说颇不谓然，而无以解也。后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根之法，且谕曰：‘西人名此书为阿尔热八达，译言东来法也。’敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南，而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之，乃焕然冰释，殆名异而实同，非徒似之而已。夫元时学士著书，台官治历，莫非此物。乃历久失传，犹幸远人慕化，复得故物。东来之名，彼尚不忘所自，而明人视若赘疣而欲弃之。噫！好学深思如唐、顾二公，尚不能知其意，而浅见寡闻者，又何足道哉？”</p><p>　　<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>馆开，瑴成与修天文、历志，呈总裁书曰：“一历志半系先祖之藁，但屡经改窜，非复原本，其中讹舛甚多。凡有增删改正之处，皆逐条签出。一，天文志不宜入历志，拟仍另编。盖历以钦若授时，置闰成岁，其术委曲繁重，其理精微，为说深长。且有明二百七十馀年沿革非一事，造历者非一家，皆须入志。虽尽力删削，卷帙犹繁。若加入天文志之说，则恐冗杂不合史法。自司马氏分历与天官为二书，历代因之，似不可易。一，天文志例载天体、星座、次舍、仪器、分野等事，<a href="/Book?Bookes=%e8%be%bd%e5%8f%b2">辽史</a>谓天象千古不变，历代之志天文者近于衍，其说似是而非。盖天象虽无古今之异，而古今之言天者，则有疏密之殊。况恒星去极，交宫中星，晨昏隐现，岁岁有差，安得谓千古不易？今拟取天文家精妙之说著於篇；其不足信者，拟削之。”</p><p>　　又时宪志用图论曰：“客问于梅子曰；‘史以纪事，因而不创。闻子之志时宪也用图，此固廿一史所无，而子创为之，宜执事以为非体而欲去之也。而子固执己见，复呶呶上言，独不记昌黎之自讼乎？吾窃为子危之！’梅子曰：‘吾闻史之道贵信而直，余本不原为史官，总裁谓时宪、天文两志非专家不能办，不以为固陋而委任之。余既不获辞，不得不尽其职。今客谓旧史无图而疑余之创，窃谓史之记事，亦视其信否耳，因、创非所计也。夫后史之增于前者多矣，<a href="/Book?Bookes=%e6%b1%89%e4%b9%a6">汉书</a>十志，已不侔于八书，而后汉皇后本纪，与<a href="/Book?Bookes=%e9%ad%8f%e4%b9%a6">魏书</a>之志释老，唐书之传公主，<a href="/Book?Bookes=%e5%ae%8b%e5%8f%b2">宋史</a>之传道学，皆前史所无，又何疑于国史用图之为创哉？且客未读<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>耶？<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>於割员弧矢、月道距差诸图，备载历志，何<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>不疑为创，而顾疑余乎？’客曰：‘后史增于前者，必非无因，若<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>之用图，亦有说欤？’梅子曰：‘疑以传疑，信以传信，春秋法也，作史者谁能易之？古之治历者数十家，大率不过增损日法，益天周，减岁馀，以求合一时而已。即太初之起数锺律，大衍之造端蓍策，亦皆牵合，并未能深探天行之故，而发明其所以然之理。本未尝有图，史臣何从取而载之？至元郭太史修授时，不用积年日法，全凭实测，用句股割员以求弦矢，于是有割圜诸图载于历草。作<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>时，不知采摭，则宋、王诸公之疏也。明之大统，实即授时。本朝纂修<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>诸公，以义非图不明，遂采历草入志，其识极超。复经圣君贤相鉴定，不以为非体而去之，俾精义传于无穷，洵足开万古作史者之心胸矣。至于时宪立法之妙，义蕴之奥，悉具于图，更不可去。如必以去图为合体，岂以<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>为非体，</p><p>　　而本朝之制不足法欤？且客亦知时宪之图所自来乎？我圣祖仁皇帝悯绝学之失传，留心探索四十馀年，见透底蕴，始亲授儒臣，作图立说，以阐明千古不传之秘，即御制历象考成是也。余亲承圣训，实与汇编之列。彼前辈纂修<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>，尚不忍没古人之善，创例以传之。而余以承学之臣，恭纪御制，顾恐失执事之意，而迁就迎合，以致圣学不彰，贻误后学，尚得谓之信史乎？不信之史，人可塞责，而何用余越俎而代之？余之呶呶，非沽直，不得已也。然则韩子之自讼，亦谓其言之可以已者耳。使韩子果务为容悦以求幸免，则诤臣之论，佛骨之表，又何为若是其侃侃哉？’客唯唯而退。”</p><p>　　又仪象论曰：“齐政授时，仪象与算术并重。盖非算术，无以预推节候以前民用；非仪象，无以测现在之行度，以验推步之疏密，而为修改之端也。虞书‘璇玑玉衡’，为仪象之权舆，其制不传。汉人创造浑天仪，即玑衡遗制，唐、宋皆仿为之。至元始有简仪、仰仪、闚几、景符等器，视古加详矣。明于齐化门南倚城筑观象台，仿元制作浑仪、简仪、天体三仪，置于台上，台下有晷影堂，圭表壶漏，国初因之。康熙八年，命造新仪，十一年，告成，安置台上，其旧仪移藏他室。五十四年，西人纪理安欲炫其能而灭弃古法，复奏制象限仪，遂将所遗旧器用作废铜，仅存明仿元浑仪、简仪、天体三仪而已。所制象限仪成，亦置台上。按<a href="/Book?Bookes=%e6%98%8e%e5%8f%b2">明史</a>云：‘嘉靖间修相风杆及简、浑二仪，立四大表以测晷影，而立运仪、正方案、悬晷、偏晷，具备于观象台，一以元法为断。’余于康熙五十二三年间，充蒙养斋汇编官，屡赴观象台测验。见台下所遗旧器甚多，而元制简仪、仰仪诸器，俱有王珣、郭守敬监造姓名。虽不无残缺，然睹其遗制，想见创造苦心，不觉肃然起敬也。乾隆年间，监臣受西人之愚，屡欲废台下馀器作铜送制造局，赖廷臣奏请存留，礼部奉旨查检，始知仅存三仪，殆纪理安之烬馀也。夫西人欲藉技术以行其教，故将尽灭古法，使后世无所考，彼益得以居奇，其心叵测。乃监臣无识，不思存什一於千百，而反助其为虐，何哉？乾隆九年冬，有旨移置三仪於紫微殿前，古人法物，庶几可以永存矣。”</p><p>　　又论句股曰：“句股和较相求，言算学者莫不留心，其法可谓详且备矣，未有以句股积与句弦和较为问者。元学士李冶著测圜海镜，用馀句、馀股立算，神明变化，几如五花八门，亦未及此。岂俱未计及耶？抑有其法而遗之耶？统宗少广章内，虽有句股积及句弦较两题，乃偶合于句三股四之数，非通法。昔待罪蒙养斋，汇编数理精蕴，意欲立法以补其缺。先用平方辗转推求，皆不能御，思之累日，而后得用带纵立方求句股二法。”</p><p>　　卒，年八十有三，谥文穆。</p><p>　　钫，字导和，瑴成第四子也。瑴成纂丛书辑要六十馀卷，图皆所绘。删订统宗图，十之七八，皆出其手。年二十六，卒。</p><p>　　文鼐，字和仲，文鼎从弟也。初学历时，未有五星通轨，无从入算。与兄文鼎取<a href="/Book?Bookes=%e5%85%83%e5%8f%b2">元史</a>历经，以三差法布为五星盈缩立成，然后算之，共成步五星式六卷。早卒。</p><p>　　文鼏，字尔素，文鼎季弟也。著中西经星同异考一卷。以三垣二十八宿星名，依步天歌次第，胪列其目，而以中、西有无多寡分注其下，载古歌、西歌于后。古歌即步天歌，西歌则利玛窦所撰经天该也。其南极诸星，则据汤若望算书及南怀仁仪象志，为考证补歌，附之于末。其发凡略言：“齐七政，非先定恒星，则无从著手。故曰‘七政如乘传，恒星其地志也；七政如行棋，恒星其楸局也。’曰‘恒’者，谓其终古不易；曰‘经’者，谓其不同纬星南北行，‘经’亦有‘恒’之义焉。是编专以中、西两家所传之星歌星名考其多寡同异，故曰经星同异考。星官之书，自黄帝始，重黎、羲和，志天文者，纷糅不一。汉张衡云：‘中外之官常明者百有二十四，可名者三百二十，为星二千五百，微星之数盖万一千五百二十。’至三国时，太史令陈卓始列甘、石、巫咸三家所著星，总二百八十三官，一千四百八十四星。自唐以来，以仪考测，迨宋两朝志，始能言某星去极若干度，入某星若干度，为说较详。此中国之言星学者。西儒星学远有端绪，据其书所译，周赧王丙寅古地末一测，汉永和戊寅多禄某一测，明嘉靖乙酉尼谷老一测，万历乙酉第谷一测，崇祯戊辰汤若望一测。国朝康熙壬子，南怀仁著仪象志，又依岁差改定黄经及赤经。今依南公志表，稽其大小，分为六等。一等大星一十有六，二等星六十有八，三等星二百有八，四等星五百一十有二，五等星三百四十有二，六等星七百三十有二，总计一千八百七十八。其微茫小星，则不能以数计。此泰西之学也。”</p><p>　　文鼏又有累年算稿，文鼎为录存，名曰授时步交食式一卷。又有几何类求新法，算书中比例规解，本无算例，文鼎作度算，用文鼏所补，而参之以陈荩谟尺算用法。</p><p>　　明安图，字静庵，蒙古正白旗人。官钦天监监正。受数学於圣祖，预修御定历象考成后编、御定仪象考成。因西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，知其理深奥，索解未易，因积思三十馀年，著割圜密率捷法四卷。一曰步法，於杜氏三法外，补创弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。又弦、矢求弧背，并通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。其弦求弧背法，以弦为连比例二率，半径为一率，求得二、四、六、八、十诸率，以一、三、五、七、九之五数各自乘，为累次乘数。二、三、四、五、六、七、八、九相挨，两两相乘，为累次除数，即用二率为第一得数。复置四率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。又置六率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。又置八率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。如是累求，至所得数祗一位止，乃并之，即所求之弧背也。矢求弧背法，倍正矢为连比例三率，亦以半径为一率，求得五、七、九、十一诸率。以一、二、三、四、五之五数各自乘，为屡次乘数，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，两两相乘，为屡次除数，即用三率为第一得数。复置五率，以第一乘数乘之，第一除数除之，为第二得数。又置七率，以第一、第二乘数乘之，第一、第二除数除之，为第三得数。又置九率，以第一、第二、第三乘数乘之，第一、第二、第三除数除之，为第四得数。如是累求，至所得数祗一位而止。开平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。矢求弧背，则三率又多加一四。因更创馀弧求弦矢，馀弦矢求本弧，及借弧与正、馀弦互求四术。二曰用法，以角度求八线，及直线、弧线、三角形边角相求，共设七题。谓今法所以密於古者，以用三角形也。然三角形非用八线表不能相求，惟用此法，以之立表则甚易，以之推三角形，则不用表而得数同。三、四两卷曰法解，皆阐明弦、矢与弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之数，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之数，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之数。又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得万分。遂以半径为一率，一分弧通弦为二率，各如相乘之率数，求得十、百、千、万诸分弧率数。比例得弧背求通弦，应减四率二十四分之一，加六率八十分之一，减八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，减十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，减十六率八百四十分之一。各四归之，则二十四得六，为二三相乘数；八十得二十，为四五相乘数；一百六十八得四十二，为六七相乘数；二百八十八得七十二，为八九相乘数；四百四十得一百一十，为十与十一相乘数；六百二十四得一百五十六，为十二与十三相乘数；八百四十得二百一十，为十四与十五相乘数。故以二、三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为屡次除数。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一万一千二十五分，十二率八十九万三千二十五分，十四率一亿八百五万六千二十五分，得后率分数为实。各递降二等，使二率降为四率，四率降为六率，得前率分数为法。以法除实，得四率一分，为一自乘数；六率九分，为三自乘数；八率二十五分，为五自乘数；十率四十九分，为七自乘数；十二率八十一分，为九自乘数；十四率一百二十一分，为十一自乘数；十六率一百六十九分，为十三自乘数：故以一、三、五、七、九等数各自乘为屡次乘数。次求通弦法，求得十、百、千、万诸分弧正矢率数，比例得弧背求正矢，应减五率十二分之一，加七率三十分之一，减九率五十六分之一，加十一率九十分之一，减十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，减十七率二百四十分之一；而十二为三四相乘数，三十为五六相乘数，五十六为七八相乘数，九十为九与十相乘数，一百三十二为十一与十二相乘数，一百八十二为十三与十四相乘数，二百四十为十五与十六相乘数，故以三、四、五、六、七、八、九等数两两相乘，为屡次除数。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一万四千四百分，十五率五十一万八千四百分，十七率二千五百四十万一千六百分，为后率分数，各递降二等为前率分数。如前通弦法，除得五率一分为一自乘数，七率四分为二自乘数，九率九分为三自乘数，十一率十六分为四自乘数，十三率二十五分为五自乘数，十五率三十六分为六自乘数，十七率四十九为七自乘数，故以一、二、三、四、五等数各自乘，为屡次乘数。书未成而卒，子新续之。</p><p>　　新，字景臻，安图季子。充食俸生。安图病且革，以所著捷法授之，新遵父命，与门下士陈际新、张肱共续成之。</p><p>　　陈际新，字舜五，宛平诸生。官灵台郎，为监正。续明安图割圜密率捷法，寻绪推究，质以生前面授之言。至乾隆甲午，始克成书。</p><p>　　刘湘煃，字允恭，江夏人。闻梅文鼎以历算名当世，鬻产走千馀里，受业其门，湛思积悟，多所创获。文鼎得之甚喜，曰：“刘生好学精进，启予不逮！”其与人书曰：“金、水二星，历指所说未彻，得刘生说，而后二星之有岁轮，其理确不可易。”因以所著历学疑问嘱之讨论，湘煃为著订补三卷。又谓历法自汉、唐以来，五星最疏，故其迟、留、伏、逆皆入于占，至元郭守敬出，而五星始有推步经度之法，而纬则犹未备。西法旧亦未有纬度，至地谷而后有五星纬度，已在守敬后矣。历书有法原、法数，并为历法统宗。法原者，七政与交食之历指也；法数者，七政与交食经纬之表也，故历指实为造表之根本。今历所载金、水，历指如其法以造表，则与所步之表不合，如其表以推算测天，则又密合，是历虽有表数，而犹未知立表之根也。”乃作五星法象五卷，文鼎深契其说，摘其要目为五星纪要。</p><p>　　湘煃又欲为浑盖通宪天盘安星之用，以戊辰历元加岁差，用弧三角法，作恒星经纬表根一卷，及月离交均表根、黄白距度表根各一卷，皆补新法所未及也。所著又有论日、月食算稿各一卷，各省北极出地图说一卷，答全椒吴荀淑历算十问书一卷。</p><p>　　王元启，字宋贤，号惺斋，嘉兴人。乾隆辛未进士，授将乐县知县。究心律历句股之学，著书已刻者为惺斋杂著。内有<a href="/Book?Bookes=%e5%8f%b2%e8%ae%b0">史记</a>、<a href="/Book?Bookes=%e6%b1%89%e4%b9%a6">汉书</a>正譌两种，其正<a href="/Book?Bookes=%e5%8f%b2%e8%ae%b0">史记</a>之譌者，为律书、历书、天官书各一卷；正<a href="/Book?Bookes=%e6%b1%89%e4%b9%a6">汉书</a>之譌者，为律历志上下二卷。未刻者为历法记疑、句股衍、角度衍、九章杂论。而句股衍一书，因繁求简，最为精晰。分甲、乙、丙三集，甲集术原三卷，乙集纲要二卷，丙集晰义四卷。甲集首卷通论术原，为句股因积求边张本。二卷专论立方，因及平方法。三卷专论和数开立方，所以尽立方诸数之变。乙集两卷，为相求法百二十三则之纲要。丙集四卷，即相求法，逐则分晰其义，专取发明立法之意。</p><p>　　其总序曰：“句股弦相求法，参以和较，凡得七十八则，求句股中函数。又有幂积求容员、容方、容纵方，及依弦作底求容方，与句股求外方、外员之数。又有积数与句股和较相求容方，与句股馀数相求之法。综而计之，凡得二十九则。立表测量，得求高、求远、求深三则，重表亦然。旧算书多简略，详者又苦错出无绪。间尝力为区别，使各以类从，先定相求法百十三则。甲申仲秋，复理前绪，逐一布算，捷於旧法，而旧法仍附见，以资参考。至以中函积与弦之所和、所较相求而得句、股、弦之正数，旧法罕见，今亦窃拟一法，以附於后。又别创截弦分两，及补句求股、补股求句之法，分为六则，使不成句股之形，亦化为句股。并载不成句股求中函积二则，容方、容员四则，外切员径一则，员内累求句股六则，凡又一十九则。以该西术三角之算，兼备割员之用。使学者知周髀一经，於术无所不该。后人不能触类旁通，以尽其变，故使西术得出而争胜，其实西术亦出周髀，不能出折句为股之外也。”</p><p>　　又略例引言曰：“算家句股一门，为术最繁，非凿指一数以为布算之准，难以虚领其义。然如广三修四见於经者，特其正例，正例外变例尤多。必欲正变兼呈，则一卷中彼此错出，使阅者耳目数易，转增烦愦。兹特标举略例，亻并不成句股之形亦附见焉，以尽句股之变，而该三角之法。”</p><p>　　又答友问句股书曰：“欲求句股，先学开方，方有正方、纵方之异。纵方则以修广之和、较数开之，其次则求四率比例，有三率求四率之法，有二率求三率之法，又有一率求三率之法。知此即可以知求句、股、弦各无零数法。以三率之中率为主，倍中率为股，首末二率相减为句，相加为弦。依此衍之，得句股略例十数则，然后以句、股、弦为正数，两数相加为和，相减为较。又有句股三数相加减之和较数，弦与和，和弦与较和三数相加之和数也；弦与较，较弦与和较三数相减之较数也。三数相加减，今名之为兼三和较。凡正数和较之数各三，兼三和较各二，共十三数。十三数中，随举两数，即可求句股弦全数。凡得相求法九十四则，而容方、容员、截股分两、立表测量单表、重表之法，犹不与焉。其次则求截弦分两之法，是为一句股分两句股，即可以知不成句股亦可以分两句股。不成句股分两句股，即西法三角算之所由名，今则总以句股概之。其法取大小两句股形，小股与大句同数者合为一形，即为不成句股之形。分之为两，则所谓中垂线者，即小矩之股，大矩之句。以此衍之，又得不成句股略例二十馀则。依类推之，又得合形分两、削形求全二法。合形分两，则有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两之法。削形求全，则有削去正矩、偏矩之殊，偏矩中又有浅削、深削之分。知此则句股之学尽矣。”元启尝曰：“我无他长，惟好学深思，心知其意而已。”然其句股术一书，几欲驾梅文鼎而上之，为算术中不可少之书云。</p><p>　　朱鸿，字云陆，秀水人。嘉庆七年进士，改翰林院庶吉士，散馆授编修。擢御史，历给事中，出官督理湖南粮储道。研精算学。同郡钱仪吉譔三国会要，集乾象、景初二术成，尝为作注。乌程陈杰时为台官博士，阳湖董祐诚亦客京邸，皆日从讲数，各出所得相质问。旧无橢圆求周术，为祐诚言，圜柱斜剖，则成橢员，可以句股形求之。祐诚既发明其说，系以图释。初得杜德美割圜九术写本，以示祐诚，创图解三卷。既成，复得密率捷法於李潢家，则蒙古监正明安图师弟续绎之书也，与传写本互异。鸿曾依杜法步算，径一者，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四，周十者，径三一八三零九八八六一八三七九零六七一五三七七六七五四六六九六三八九零五六六六一。徐有玉采入务民义斋算学中。道光十年后，辞官仍居京师，譔考工记车制参解。又评程氏易畴考工创物小记，多所纠正云。</p><p>　　博启，字绘亭，满洲正白旗人。乾隆中，官钦天监监副。尝因句股和较之术，前人论之极详，独句股形中所容之方边、员径、垂线三事，尚缺而未备。爰以三事分配和较，创法六十。惜其书未刊，法不传。今所传者，惟有方边及垂线求句、股、弦一题。法用平行线剖容方幂为四小句股形，借垂线为小句股和，借方边为小弦，求小句小股。以小股与垂线比，若方边与句比；以小句与垂线比，若方边与弦比。道光初，方履亨官监正，每举此题课士。其后得甘泉罗士琳力为表章，博术乃复明于世。</p><p>　　罗论云：“曩者闻方慎菴监正言绘亭监副有是法，失传。因仿监副遗法，用平行线剖半员幂为四小句股形，以半圆径减垂线馀，借为小句股和，借半员为小弦，求得小句、小股。以小股比垂线，若半员径比股；以小股比股，若半员径比弦。又以半员径减方边，得较。用平行线剖较幂为四小句股形，借半员径为小句股和，借较为小弦，求得小句、小股。以小股比半员径，若方边比句；以小句比半员径，若方边比股，以小股比股，若较比弦。用补副监之遗。复用天元术演得三事和较六十题，更立天、地两元为广例二十五术，撰句股容三事拾遗四卷。更试变通其术，御以八线，取方边用方斜率，得容方中之斜线。以垂线为一率，半径为二率，斜线为三率，求得四率为正割。检八线表得度用，与四十五度相加减，得垂线所分之大小两弧，副以半径为一率，垂线为二率，小弧正割为三率，求得四率为句。如以大弧正割为三率，求得四率为股，又如以大小两弧之两正切为三率，求得四率，为大小两弧之两分弦，相并得弦馀。二题仿此，其得数同，而尾数有奇零。以八线表所列之数至单位止，单位以下，弃其馀分，故不能如句股与天元所得之密合。或有妄诋天元术不能驭三角和较者，抑知天元创於宋、明之间，安能逆知西法之有三角而豫为立法？要在学者善为会通耳。试设平三角形，有一角而角在两边之中，有大边与对边和，有小边与对边和，求三道及垂线，此西人常法所不能御者。若立天元一术，则任求何边或和数或较数，皆一平方即得。然则天元之与西法，其优劣可见矣。”</p><p>　　许如兰，字芳谷，全椒人。乾隆三十年举人，大挑知县，分发福建。因亲老改江西，历任浮梁、新建等县事。丁忧服阕，赴福建，题补侯官，未履任，会瘴气发，病卒。</p><p>　　如兰性敏，所读书皆究心精妙，於历算始习西法，通薛凤祚所译天步真原、天学会通。时同县山西宁武同知吴烺受梅文鼎学於刘湘煃，如兰因并习梅氏历算。又于乾隆四十年夏，谒戴震于京都，受句股割圜记。四十四年，谒董化星于常州。戴传缉古算经十书，而董则专业薛氏者也。由是兼通中、西之学。</p><p>　　尝谓其弟子胡早春曰：“古人以句股方程列于小学，童而习之，人人能晓，今则老宿不能通其义。一则时尚帖括，视句股为不急之务；再则习为风雅，不屑持筹握算，效畴人子弟所为。噫，过矣！”又谓：“士大夫不精弧矢之术，虽识天文，无益也。畴人算工不明象数之理，虽能步算，无益也。”著有乾象拾遗、春晖楼集诸书，今多散佚。</p><p>　　其存者，有书梅氏月建非专言斗柄论后，略曰：“天气浑沦，无可识认，古人不得已，即以恒星为天以识日躔。恒星积久而差，冬至日躔不在原宿，始立岁差之法。古谓恒星不动，而黄道西移。今测普天星座皆动，其经纬之度，不随赤道运转，而顺黄道东移。故谓黄道不动，而恒星东行，与七政同一法。”又谓：“古人以中数为岁，朔数为年。上古气朔同日，故月建起於节气，而不起於中气；日躔过宫，起於中气，而不起於节气。起於节气，故曰冬至子之半；起於中气，故曰冬至日躔星纪之次也。然则一岁十二建，乃天道经历十二辰，故谓之月建，此万古不易者也。斗柄所指分位不真，且恒星东移，积久有差，辨之诚是也。但古人云：‘斗为帝车，斟酌元气而布之四方’。又曰：‘招摇柬指。’不过言天道无迹。可见顺时布化，斗柄有象可徵耳。拘泥其词，则惑矣。”其岁差说略曰：“恒星一年东行五十馀秒，又黄、赤二道斜交，并非平行，於左旋至速之中，微斜牵向右。日之於天，犹经纬之於日也。日行至黄道分至节气之限，则春秋寒暑皆随之而应。七政躔于各宫，遇各宫燥湿寒温风雨，则随恒星之性而应。然则冬、夏二至，乃黄道上子、午之位也。春、秋二分，乃黄道上卯、酉之位也。惟唐、虞时冬至日躔虚中，恒星之子中，正逢黄道之子中。嗣是渐差，而东周在女，汉在斗，今在箕。黄道之子，非恒星之子也。以丑宫初度为冬至者，因周时冬至恒星已差至丑，周人即以恒星为黄道之十二次，故命丑为星纪，言诸星以此纪也。其实丑乃周时恒星之宿度，并非恒星之子中。今并不在丑，又移至寅十馀度矣。由今箕一以上溯古虚五，历年四千有馀，已差至五十八度，此恒星东行之明验也。”其他著论无关历算者不录。</p>