卷七 盈不足--九章算术.
<p> ○盈不足（以御隐杂互见） 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰： 七人。物价五十三。</p>
<p> 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？ 答曰：九人。鸡价七十。</p>
<p> 今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？答 曰：四十二人。琎价十七。</p>
<p> 〔注云“若两设有分者，齐其子，同其母”，此问两设俱见零分，故齐其子， 同其母。又云“令下维乘上。讫，以同约之”，不可约，故以乘，同之。〕 今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三 十。问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家。牛价三千七百五十。</p>
<p> 〔按：此术并盈不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之， 各得一家所出率。以少减多者，得一家之差。以除，即家数。以出率乘之，减盈， 故得牛价也。〕 术曰：置所出率，盈不足各居其下。令维乘所出率，并，以为实。并盈、不 足，为法。实如法而一。</p>
<p> 〔按：盈者，谓朓；不足者，谓之朒；所出率谓之假令。盈、朒维乘两 设者，欲为同齐之意。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假 令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为 实，并盈、不足为法。齐之三十二者，是四假令，有盈十二；齐之二十一者，是 三假令，亦朒十二；并七假令合为一实，故并三、四为法。〕 有分者通之。</p>
<p> 〔若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。〕 盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价， 法为人数。</p>
<p> 〔“所出率以少减多”者，余，谓之设差，以为少设。则并盈、朒，是为 定实。故以少设约定实，则法，为人数；适足之实故为物价。盈朒当与少设相 通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。〕 其一术曰：并盈、不足为实。以所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。</p>
<p> 以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。</p>
<p> 〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多，余为一人之差。以一人 之差约众人之差，故得人数也。〕 今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各 几何？答曰：三十三人。金价九千八百。</p>
<p> 今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？ 答曰：二十一人。羊价一百五十。</p>
<p> 术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。</p>
<p> 两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者，通之。两盈两不足相与 同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。</p>
<p> 〔按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势 同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实 者，无朒数以损焉。盖出而有余，两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物，人 出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。</p>
<p> 其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令；而 凡盈三十者，是十，以三之；齐之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三， 以十之。今假令两盈共十、三，以三减十，余七，为一实。故令以三减十，余七 为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故 以少设约法得人数，约实即得金数。〕 其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。</p>
<p> 实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。</p>
<p> 〔“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。</p>
<p> 故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〕 今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？ 答曰：二人。犬价一百。</p>
<p> 今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？ 答曰：一十人。豕价九百。</p>
<p> 术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。</p>
<p> 其求物价者，以适足乘人数，得物价。</p>
<p> 〔此术意谓以所出率，以少减多者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。</p>
<p> 以一人差约之，故得人之数也。以盈及不足数为实者，数单见，即众人差，故以 为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差，得人数。以适足乘 人数，即得物价也。〕 今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？ 答曰：二斗五升。</p>
<p> 术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升。</p>
<p> 〔按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升， 课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗 二升，课于七斗，是为有余二升。以盈不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为 齐同者，齐其假令，同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实， 并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。〕 今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日 相逢？瓜、瓠各长几何？答曰：五日十七分日之五。瓜长三尺七寸一十七分寸之 一。瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。</p>
<p> 术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。</p>
<p> 〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日， 上延蔓五尺；课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者， 若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；课于九尺之垣，是为 有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈 朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而 一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长 之数也。〕 今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问 几何日而长等？答曰：二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。</p>
<p> 术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。</p>
<p> 〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸；莞生二日， 长三尺；是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者， 蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈不足乘除之。</p>
<p> 又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日 定长，即得其数。〕 今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。</p>
<p> 问醇、行酒各得几何？答曰：醇酒二升半。行洒一斗七升半。</p>
<p> 术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗 八升，不足二。</p>
<p> 〔据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五；课于三十，是为 有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八；课于三十，是为 不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也。〕 今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。问大、小器各容 几何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。</p>
<p> 术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二 斗五升，不足二斗。</p>
<p> 〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以减三斛，余五斗，即小器一所容。</p>
<p> 故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多 十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升。以减三斛，余二斗五升， 即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗 五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足维乘， 除之。〕 今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。</p>
<p> 问出漆、得油、和漆各几何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。</p>
<p> 和漆一斗八升四分升之三。</p>
<p> 术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升。</p>
<p> 〔按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，余有二斗 一升，则六升无油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，则易得油一斗 六升，可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆 二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实。并盈、不足为法。实如法而一， 得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，三、四各为所有率，而今有之， 即得也。〕 今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并 重十一斤。问玉、石重各几何？答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸， 重四斤一十四两。</p>
<p> 术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。</p>
<p> 各以一寸之重乘之，得玉、石之积重。</p>
<p> 〔立方三寸是一面之方，计积二十七寸。玉方一寸重七两，石方一寸重六两， 是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十 三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石 重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于 十一斤，少十四两，故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重，即二十 七寸之中有十四寸，寸增一两也。〕 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、 恶田各几何？答曰：善田一十二亩半。恶田八十七亩半。</p>
<p> 术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令 之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三。</p>
<p> 〔按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱 之二，课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千； 恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四；课于一万，是为不足五百七十 一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕 今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交 易其一，金轻十三两。问 金、银一枚各重几何？答曰：金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。</p>
<p> 术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令 之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内 之数。以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金 重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。</p>
<p> 〔按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤； 银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五；各为金、银一枚重数。就金重二十七 斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二 十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十 七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之， 是为不足四十九。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白银一十一， 亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。</p>
<p> 今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银；复减一枚银，以益金，则金重一十七 斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分 斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五。</p>
<p> 以盈不足为之，如法，得金重。分母乘法以除者，为银两分母，故同之。须通法 而后乃除，得银重。余皆约之者，术省故也。〕 今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里， 日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问 几何日相逢及各行几何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。</p>
<p> 良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一 百九十一分里之一百四十五。</p>
<p> 术曰：假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。以 盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不 尽者，以等数除之而命分。求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之 行里数，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数，加良马初日之 行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得。其不尽而命 分。求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日， 得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行，余，以乘日分子， 如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数。其奇半里者，为半法。以半法 增残分，即得。其不尽者而命分。</p>
<p> 〔按：“令十五日，不足三百三十七里半”者，据良马十五日凡行四千二百 六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里；驽马十五日凡行一千四 百二里半，并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三 十七里半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，据良马十六日凡行四 千六百四十八里；除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里，驽马十六日 凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里， 余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之，实如法而一，得日数者，即设差不 盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数。求初末益疾 减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积。又令益疾减迟里数乘 之，各为减益之中平里。故各减益平行数，得一十五日定行里。若求后一日，以 十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十 五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残 分，即合所问也。〕 今有人持钱之蜀贾，利十，三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归 一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及 利各几何？答曰：本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千 八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万 六千四百一十七。</p>
<p> 术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三 百九十钱八分。</p>
<p> 〔按：假令本钱三万，并利为三万九千；除初返归留，余，加利为三万二千 五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加 利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半； 除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万，并利为五 万二千；除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加利为 四万七千三百二十；除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四 返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三 万五千三百九十钱八分，故曰多。</p>
<p> 又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千， 又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一， 即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四 千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。并五返之钱以减之，即利也。〕 今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠 日自半。问几何日相逢？各穿几何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四 寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。</p>
<p> 术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半。</p>
<p> 〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；并大鼠所穿，合 四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得 一尺七寸半。并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。</p>
<p> 以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定 穿，即合所问也。〕</p>