卷六 均输--九章算术.
<p> ○均输（以御远近劳费） 今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一 万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。</p>
<p> 凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问粟、 车各几何？答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三 千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千 五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。</p>
<p> 术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰。</p>
<p> 〔按：此均输，犹均运也。令户率出车，以行道日数为均，发粟为输。据甲 行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车。计其在道，则 皆户一日出一车，故可为均平之率也。</p>
<p> 淳风等按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数 约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲 县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率。未 并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数。一旬除乙，十三 除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕 甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数 乘未并者，各自为实。</p>
<p> 〔衰，分科率。〕 实如法得一车。</p>
<p> 〔各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十 七分日之三十一，故谓之均。求此户以率，当各计车之衰分也。〕 有分者，上下辈之。</p>
<p> 〔辈，配也。车、牛、人之数不可分裂，推少就多，均赋之宜。今按：甲分 既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙。除之适尽。加乙、 丙各一，上下辈益，以少从多也。〕 以二十五斛乘车数，即粟数。</p>
<p> 今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙 县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十 人，行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之，问 县各几何？答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。</p>
<p> 丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。</p>
<p> 术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。</p>
<p> 〔按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言 欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，计 役则皆一人一日，是以可为均平之率。〕 甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各 自为实。实如法而一。</p>
<p> 〔为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有 数。此术以别，考则意同，以广异闻，故存之也。各置所当出人数，以其居所及 行道日数乘之，如县人数而一。得率：人役五日七分日之五。〕 有分者，上下辈之。</p>
<p> 〔辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除 之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除，有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分，其 数正等，二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也。〕 今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二 千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一 斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱， 至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。</p>
<p> 凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户赋粟，令费劳 等，问县各粟几何？答曰：甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一 十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百 八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八 百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千 二百五十三。</p>
<p> 术曰：以一里僦价乘至输所里， 〔此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱， 即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取 僦价也。〕 以一车二十五斛除之， 〔欲知僦一斛所用钱。〕 加一斛粟价，则致一斛之费。</p>
<p> 〔加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也：甲一斛之费二十，乙、丙各 十八，丁二十七，戊十九也。〕 各以约其户数，为衰。</p>
<p> 〔言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱， 故可为均赋之率也。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近、贵贱之率。此二率 者，各自相与通。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之费谓之钱 率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也。若其 不然。以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分内子，约之，于算甚繁。此一 章皆相与通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已。又 以分言之，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一，各以户数乘之， 亦可得一县凡所当输，俱为衰也。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以 一斛之费约户数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之。约户，以乘户率 为衰也。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”反衰注曰：“先同其母，各以 分母约，其子为反衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也。〕 甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊 衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。</p>
<p> 〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八 百七十三分钱之一千三百八十一。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五 斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。</p>
<p> 甲自输其县，则无取僦之价。以一车二十五斛除之者，欲知僦一斛所用钱。加一 斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十 七，戊一十九。各以约其户，为衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三 百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十 八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为 所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。〕 今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百 七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百 二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七 百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十 算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十 六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆 输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之 间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等，问县各粟几何？答曰： 甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一 百三十三分斛之九，丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百 六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七 十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。</p>
<p> 术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重，以乘道里，各自为实，实如法 得一日。</p>
<p> 〔按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一 里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。</p>
<p> 完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、 重相乘者，同其母也。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五 为所有率，而今有之，即各得输所用日也。〕 加载输各一日， 〔故得凡日也。〕 而以六人乘之， 〔欲知致一车用人也。〕 又以佣价乘之， 〔欲知致车人佣直几钱。〕 以二十五斛除之， 〔欲知致一斛之佣直也。〕 加一斛粟价，即致一斛之费。</p>
<p> 〔加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。〕 各以约其算数为衰， 〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰 十六。于今有术，副并为所有率，未并者各自为所求率，所赋粟为所有数。此今 有、衰分之义也。〕 副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。</p>
<p> 〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率：算出九钱一百三 十三分钱之三。又载输之间各一日者，即二日也。〕 今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为米， 令米数等。问取粟、为米各几何？答曰：粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。</p>
<p> 粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之 七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。</p>
<p> 术曰：列置粝米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。</p>
<p> 〔此先约三率：粝为十，粺为九，为八。欲令米等者，其取粟：粝 率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。当齐其子，故曰反衰也。</p>
<p> 淳风等按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、少而粝多； 用粟，则粺、多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率，故今反衰之，使 精取多而粗得少。〕 副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。</p>
<p> 〔于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有 之，故各得取粟也。〕 若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。</p>
<p> 〔若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十； 米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即 为米斗数。〕 今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？答 曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。</p>
<p> 术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置 米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。</p>
<p> 〔淳风等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一 之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。</p>
<p> 并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故 云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于 今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有 数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米 一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、 菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。〕 今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升， 行八十里。问与钱几何？答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。</p>
<p> 术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。</p>
<p> 〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万 里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕 以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。</p>
<p> 〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四 十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕 今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步， 问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。</p>
<p> 术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。</p>
<p> 〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕 故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。</p>
<p> 〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一 返之课除终日之程，即是返数也。</p>
<p> 淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今 返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此 负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、 实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。</p>
<p> 力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此 术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之 数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半， 负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百 五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如 法而一，即得也。〕 今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五 日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一 术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之， 为实。实如法得一里。</p>
<p> 〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日 为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今 求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率， 以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。</p>
<p> 各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往 空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐 而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十 五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于 今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返 之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕 今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一 斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。</p>
<p> 术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤 两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。</p>
<p> 〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。</p>
<p> 又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率 三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之 数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之 数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并 除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十 二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一 十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同 其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝 一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此， 但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言 同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢 数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以 络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕 今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？ 答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。</p>
<p> 术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶 粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。</p>
<p> 〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即 粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重 今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘 前法而并除之也。〕 今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者 追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。</p>
<p> 术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者 之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。</p>
<p> 〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行 一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一 百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕 今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善 行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。</p>
<p> 术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善 行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。</p>
<p> 〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓 之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之， 即得也。其意如上术也。〕 今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行 几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。</p>
<p> 术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘 犬追步数为实。实如法得一步。</p>
<p> 〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百 五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步 为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕 今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。</p>
<p> 问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。</p>
<p> 术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法 得一钱。</p>
<p> 〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者 也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税， 则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数， 十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕 今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及， 与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。</p>
<p> 术曰：置四分日之三，除三分日之一， 〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有 十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕 半其余，以为法。</p>
<p> 〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人 与客均行用日之率也。〕 副置法，增三分日之一。</p>
<p> 〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之 前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。</p>
<p> 是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。</p>
<p> 母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数， 十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕 以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。</p>
<p> 〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一， 得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用 日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕 今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重 几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤 八两。次一尺重四斤。</p>
<p> 术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。</p>
<p> 副置，以差率减之，每尺各自为衰。</p>
<p> 〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以 四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。</p>
<p> 今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上 第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕 副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。</p>
<p> 〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之 数，而又反此率乘本重，为实。一乘 一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为 法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱 六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之 四。</p>
<p> 术曰：置钱，锥行衰。</p>
<p> 〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均， 为一列者也。〕 并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。</p>
<p> 〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕 以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。</p>
<p> 〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则 得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下 部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有 之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。</p>
<p> 并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均 减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为 下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。</p>
<p> 实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕 今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？ 答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十 六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分 升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三 十九。</p>
<p> 术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。</p>
<p> 〔此二率者，各其平率也。〕 上、下率以少减多，余为实。</p>
<p> 〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中 间五节半之凡差，故以为实也。〕 置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。</p>
<p> 〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半 之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕 下率一升少半升者，下第二节容也。</p>
<p> 〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕 今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何 日相逢？答曰：三日十六分日之十五。</p>
<p> 术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。</p>
<p> 〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九 至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。</p>
<p> 故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰： 凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至 之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁 日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕 今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发 长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。</p>
<p> 术曰：并五日、七日，以为法。</p>
<p> 〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日 一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。</p>
<p> 谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕 以乙先发二日减七日， 〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕 也。</p>
<p> 余，以乘甲日数为实。</p>
<p> 〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。</p>
<p> 以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。</p>
<p> 实如法得一日。</p>
<p> 〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至 之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行 五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令 相乘，为二十五分。〕 今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作 瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。</p>
<p> 术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。</p>
<p> 〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术 “并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实 如法，即得也。〕 今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人 一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。</p>
<p> 术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒 三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。</p>
<p> 〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至 之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于 五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫 飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。— —实如法而一，得一人日成矢之数也。〕 今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一 百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。</p>
<p> 术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱 乘之，为实。实如法得一亩。</p>
<p> 〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初 假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数， 同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫 雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。</p>
<p> 淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。</p>
<p> 并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六 十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕 今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一 人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之 六十六。</p>
<p> 术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如 法得一亩。</p>
<p> 〔此犹凫雁术也。</p>
<p> 淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同 其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种 用二十一人。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治， 故以人数为法除之，即得也。〕 今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满，次一日一满，次二日半一满， 次三日一满，次五日一满。今皆决之，问几何日满池？答曰：七十四分日之十五。</p>
<p> 术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。</p>
<p> 〔按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者， 是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日 五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕 以一日为实，实如法得一日。</p>
<p> 〔此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有 二术焉，可随率宜也。〕 其一术：各置日数及满数。</p>
<p> 〔其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是五日 二满；次三日一满，次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕 令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。</p>
<p> 〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次一日一 满；次二日半满者，是五日再满；次三日一满；次五日一满。此谓列置日数于右 行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同， 故并齐以除同，即得也。〕 今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五 斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。</p>
<p> 术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、 六相互乘为法。实如法得一斗。</p>
<p> 〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、 四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。</p>
<p> 又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税 之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。</p>
<p> 又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置 一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之， 七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、 六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。</p>
<p> 于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕 今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五 而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三 两四铢五分铢之四。</p>
<p> 术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。</p>
<p> 实如法得一斤。</p>
<p> 〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘， 为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相 乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母， 凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子 五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除 之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕 </p>