卷五 商功--九章算术.
<p> ○商功（以御功程积实） 今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一 万二千五百尺。</p>
<p> 术曰：穿地四为壤五， 〔壤谓息土。〕 为坚三， 〔坚谓筑土。〕 为墟四。</p>
<p> 〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。</p>
<p> 〔今有术也。〕 以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。</p>
<p> 〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、 壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。</p>
<p> 术曰：并上下广而半之， 〔损广补狭。〕 以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。</p>
<p> 〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘 之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地 下广几何？答曰：三尺五分尺之三。</p>
<p> 术曰：置垣积尺，四之为实。</p>
<p> 〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕 以深、袤相乘， 〔为深、袤之立实也。〕 又三之，为法。</p>
<p> 〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕 所得，倍之。</p>
<p> 〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知， 两广全也。〕 减上广，余即下广。</p>
<p> 〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。</p>
<p> 深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率 并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广， 故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕 今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答 曰：一百八十九万七千五百尺： 今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？ 答曰：六千七百七十四尺。</p>
<p> 今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰： 七千一百一十二尺。</p>
<p> 冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。</p>
<p> 术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。</p>
<p> 今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四 千三百七十五尺。</p>
<p> 春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。</p>
<p> 问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。</p>
<p> 术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。</p>
<p> 〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕 以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。</p>
<p> 〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实 里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。</p>
<p> 不尽者，等数约之而命分也。〕 今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。</p>
<p> 问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。</p>
<p> 〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文 欲从易，非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。</p>
<p> 术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。</p>
<p> 以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。</p>
<p> 〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又 去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。</p>
<p> 以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。</p>
<p> 不尽者，等数约之而命分也。〕 今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二 十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。</p>
<p> 秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十 四尺四寸。</p>
<p> 一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。</p>
<p> 术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。</p>
<p> 〔以一千人一日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之，以深乘之，为法。</p>
<p> 〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。</p>
<p> 今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕 方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。</p>
<p> 术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。</p>
<p> 今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二 尺。</p>
<p> 〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。</p>
<p> 淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。</p>
<p> 〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而 以高乘幂也。</p>
<p> 淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六 百六十六尺太半尺。</p>
<p> 术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。</p>
<p> 〔此章有堑堵、陽马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。</p>
<p> 假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四， 四角陽马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四 面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵 各二、四角陽马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡 三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵陽马各十二， 凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四陽马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵 也。并之，以为方亭积数也。〕 今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。</p>
<p> 〔于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕 术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。</p>
<p> 〔此术周三径一之义。合以三除上下周，各为上下径。以相乘，又各自乘， 并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为 上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母 三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方 幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以 三而一；今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方幂四乘分母 九，得三十六，而连除之。于徽术，当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之， 又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五 十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七 乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而 一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。</p>
<p> 淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕 今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？答曰：七千四十七尺。</p>
<p> 术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。</p>
<p> 〔按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四陽马。如术为之，用十二陽马 成三方锥。故三而一，得方锥也。〕 今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？答曰：一千七百三十五 尺一十二分尺之五。</p>
<p> 〔于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕 术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。</p>
<p> 〔按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，令三而一， 得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十 二，得三十六，而连除。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九 百四十二而一。圆锥比于方锥亦二百分之一百五十七。令径自乘者，亦当以一百 五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。</p>
<p> 淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕 今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四 万六千五百尺。</p>
<p> 术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。</p>
<p> 〔邪解立方，得两堑堵。虽复橢方，亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。</p>
<p> 推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所 以名之为堑堵之说也。〕 今有陽马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？答曰：九十三尺少半尺。</p>
<p> 术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。</p>
<p> 〔按：此术陽马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为陽马。假令广袤各一尺， 高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪解堑堵，其一为陽马， 一为鳖臑。陽马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一陽马，合三陽马而 成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割陽马，凡为六鳖臑。观其割分， 则体势互通，盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者，亦割分以为六鳖臑。</p>
<p> 其形不悉相似。然见数同，积实均也。鳖臑殊形，陽马异体。然陽马异体，则不 纯合。不纯合，则难为之矣。何则？按：邪解方棋以为堑堵者，必当以半为分； 邪解堑堵以为陽马者，亦必当以半为分，一从一横耳。设以陽马为分内，鳖臑为 分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。</p>
<p> 其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棋各二，皆用赤棋。又使陽马之广、 袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、陽马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑， 接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵 各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖臑，则一陽马也。其余两端各积本体， 合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固 有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，则一、二之为率定矣。其 于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数，各半之，则四分之三又可 知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而 求穷之者，谓以情推，不用筹算。鳖臑之物，不同器用；陽马之形，或随修短广 狭。然不有鳖臑，无以审陽马之数，不有陽马，无以知锥亭之数，功实之主也。〕 今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问积几何？答曰： 二十三尺少半尺。</p>
<p> 术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。</p>
<p> 〔按：此术臑者，臂节也。或曰：半陽马，其形有似鳖肘，故以名云。中破 陽马，得两鳖臑。鳖臑之见数即陽马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。〕 今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问积 几何？答曰：八十四尺。</p>
<p> 术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。</p>
<p> 〔按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖臑夹一堑堵，即 羡除之形。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一 尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者，两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘， 得积五尺。鳖臑居二，堑堵居三，其于本棋皆一为六，故六而一。合四陽马以为 方锥。邪画方锥之底，亦令为中方。就中方削而上合，全为中方锥之半。于是陽 马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形， 与常所谓鳖臑参不相似，实则同也。所云夹堑堵者，中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤 短者，连陽马也。下袤短者，与鳖臑连也。上、下两袤相等知，亦与鳖臑连也。</p>
<p> 并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也。今此羡除之广即堑堵之袤也。按： 此本是三广不等，即与鳖臑连者。别而言之：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺。</p>
<p> 末广之两旁，各一小鳖臑，皆与堑堵等。令小鳖臑居里，大鳖臑居表，则大鳖臑 皆出橢方锥：下广二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，则为袤三尺。以高、广乘 之，三而一，即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖臑。求其积，亦当六而一，合 于常率矣。按：陽马之棋两邪，棋底方。当其方也，不问旁角而割之，相半可知 也。推此上连无成不方，故方锥与陽马同实。角而割之者，相半之势。此大小鳖 臑可知更相表里，但体有背正也。〕 今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问积几何？答曰： 五千尺。</p>
<p> 术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。</p>
<p> 〔推明义理者：旧说云：“凡积刍有上下广曰童，甍，谓其屋盖之苫也。” 是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正解方亭两边，合之即刍甍之形也。假令 下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺。其用棋也，中央堑堵二，两端陽 马各二。倍下袤，上袤从之，为七尺。以下广乘之，得幂十四尺。陽马之幂各居 二，堑堵之幂各居三。以高乘之，得积十四尺。其于本棋也，皆一而为六。故六 而一，即得。亦可令上下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四陽马也；下广乘上 袤而半之，高乘之，即二堑堵；并之，以为甍积也。〕 刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。</p>
<p> 术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并，以高 若深乘之，皆六而一。</p>
<p> 〔按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用 棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角陽马四。倍下袤为八，上袤从之，为十， 以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各 六，四角陽马亦各六。复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。</p>
<p> 是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一， 即得。为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽马；上下广袤 互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方；并之，为刍童积。又 可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得 也。〕 其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为 下袤。</p>
<p> 〔此池环而不通匝，形如盘蛇，而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳。</p>
<p> 引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也。〕 今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问积几何？答 曰：二万六千五百尺。</p>
<p> 今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四 尺，广五尺；深一丈。问积几何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。</p>
<p> 今有盘池，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？答 曰：七万六百六十六尺太半尺。</p>
<p> 负土往来七十步，其二十步上下棚除，棚除二当平道五；踟蹰之间十加一； 载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸。秋程人功行五十九里半。</p>
<p> 问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三 分人之六十二。</p>
<p> 术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚除二当平道五。</p>
<p> 〔棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五也。〕 置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，以为法。除之，所得即一人所 到尺。以所到约积尺，即用徒人数。</p>
<p> 〔按：此术棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五。置定往来步数， 十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有率， 笼积一尺六寸为所求率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即所到尺数。以 所到约积尺，即用徒人数者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数。为术又 可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到。以此术与今有术相 反覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳。〕 今有冥谷，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问积几何？ 答曰：五万二千尺。</p>
<p> 载土往来二百步，载输之间一里。程行五十八里；六人共车，车载三十四尺 七寸。问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二 百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。</p>
<p> 术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以 车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。</p>
<p> 〔按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步，为所有率，车载三十四尺 七寸为所求率，程行五十八里，通之为步，为所有数，而今有之，所得即一车所 到。欲得人到者，当以六人除之，即得。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用 以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率，令六 人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之。入之者，亦可求返数也。要取其会 通而已。术恐有分，故令乘法而并除。以所到约积尺，即用徒人数者，以一人所 到积尺除其众积，故得用徒人数也。〕 今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？答曰：积八千尺。</p>
<p> 〔于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。〕 为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。</p>
<p> 〔于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕 今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？答曰：积三百五十 尺。</p>
<p> 〔依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。〕 为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。</p>
<p> 〔依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米各几何？答曰：积三十 五尺九分尺之五。</p>
<p> 〔于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。</p>
<p> 淳风等按：依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。〕 为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。</p>
<p> 〔于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕 委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。</p>
<p> 〔此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百 四十二而一也。〕 其依垣者， 〔居圆锥之半也。〕 十八而一。</p>
<p> 〔于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。</p>
<p> 依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为 法也。〕 其依垣内角者， 〔角，隅也，居圆锥四分之一也。〕 九而一。</p>
<p> 〔于徽术，当令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七 十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依 垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周， 得径；若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。</p>
<p> 母自相乘得九，为法，又当三而一，得方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方 幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃以三而一；今求 圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连 除，圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。</p>
<p> 淳风等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百 三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕 程粟一斛积二尺七寸； 〔二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。〕 其米一斛积一尺六寸五分寸之一； 〔谓积一千六百二十寸。〕 其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。</p>
<p> 〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也。粟率五，米率三， 故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概， 而皆不合于今斛。当今大司农斛，圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽术， 为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸 五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有 奇。《周官·考工记》：朅氏为量，深一尺，内方一尺而圆外，其实一釜。于徽 术，此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四 升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升，方一尺， 深一尺，其积一千寸。若此方积容六斗四升，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠 五分龠之三也。以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一 百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。王莽铜斛与 《<a href="/Book?Bookes=%e6%b1%89%e4%b9%a6">汉书</a>·律历志》所论斛同。〕 今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：二丈。</p>
<p> 术曰：置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺。</p>
<p> 〔以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，以高乘之，得此积。</p>
<p> 今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。〕 今有圆囷， 〔圆囷，廪也，亦云圆囤也。〕 高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问周几何？答曰：五丈四尺。</p>
<p> 〔于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。</p>
<p> 淳风等按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕 术曰：置米积尺， 〔此积犹圆堡昪之积。〕 以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。</p>
<p> 〔于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高为法。所 得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。晋武库中有汉时王 莽所作铜斛，其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫， 幂一百六十二寸；深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗， 方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分。深一寸，积一百六十二寸，容 一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今律历志同， 亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数，然不尽得升、合、勺之文 字。按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积。今还元，置此积，以 十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故 开方除之，即得也。</p>
<p> 淳风等按：依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开 方除之，即周也。〕 </p>