卷二 粟米--九章算术.
<p> ○粟米（以御交 质变易） 粟米之法 〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕 粟率五十大抃五十四稻六十 粝米三十粝饭七十五豉六十三 粺米二十七粺饭五十四飧九十 米二十四饭四十八熟菽一百三半 御米二十一御饭四十二糵一百七十五 小<麦啇>十三半菽荅麻麦各四十五 今有 〔此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率。所谓告往而知来，举一隅而 三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏 颇，齐其参差，则终无不归于此术也。〕 术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。</p>
<p> 〔少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是 粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。一者，谓以五约 之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一，以五为 三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；以 分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子 乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。</p>
<p> 淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“所求之率 常为母”知，脱错也。〕 实如法而一。</p>
<p> 今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。</p>
<p> 术曰：以粟求粝米，三之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故 粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十， 米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕 今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分 升之十七。</p>
<p> 术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。</p>
<p> 〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕 今有粟四斗五升，欲为米。问得几何？答曰：为米二斗一升五 分升之三。</p>
<p> 术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之 率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五 而一也。〕 今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升五十分升之 九。</p>
<p> 术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。</p>
<p> 今有粟一斗，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇>二升一十分升之 七。</p>
<p> 术曰：以粟求小<麦啇>，二十七之，百而一。</p>
<p> 〔淳风等按：小<麦啇>之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七， 为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。</p>
<p> 他皆仿此。〕 今有粟九斗八升，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大<麦啇>一十斗五升 二十五分升之二十一。</p>
<p> 术曰：以粟求大<麦啇>，二十七之，二十五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求 米，半其二率。〕 今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。</p>
<p> 术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。</p>
<p> 〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十 有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕 今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五 分升之二十二。</p>
<p> 术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：此术与大<麦啇>多同。〕 今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二 十五分升之一十四。</p>
<p> 术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：<麦啇>饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕 今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升 之八。</p>
<p> 术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：此术半率，亦与饭多同。〕 今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。</p>
<p> 今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。</p>
<p> 今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。</p>
<p> 今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升二 十五分升之一十四。</p>
<p> 术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。</p>
<p> 〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲 从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕 今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗三十五分 升之二十四。</p>
<p> 术曰：以粟求稻，六之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕 今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。</p>
<p> 术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。</p>
<p> 今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。</p>
<p> 术曰：以粟求飧，九之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕 今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。</p>
<p> 术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。</p>
<p> 〔淳风等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率 既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。〕 今有粟二斗，欲为糵。问得几何？答曰：为糵七斗。</p>
<p> 术曰：以粟求糵，七之，二而一。</p>
<p> 〔淳风等按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数 二十五约之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕 今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？答曰：为粟二十五斗 九升。</p>
<p> 术曰：以粝米求粟，五之，三而一。</p>
<p> 〔淳风等按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今 此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之，各合其数。</p>
<p> 以下所有反求多同，皆准此。〕 今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。</p>
<p> 术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。</p>
<p> 今有米三斗少半升，欲为粟。问得几何？答曰：为粟六斗三升三十六 分升之七。</p>
<p> 术曰：以米求粟，二十五之，十二而一。</p>
<p> 今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三十三斗三升少半升。</p>
<p> 术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。</p>
<p> 今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？答曰：为粟 一十斗五升九分升之七。</p>
<p> 术曰：以稻求粟，五之，六而一。</p>
<p> 今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺 米一十七斗二升一十四分升之一十三。</p>
<p> 术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。</p>
<p> 〔淳风等按：粺米率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕 今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭一十六 斗一升半。</p>
<p> 术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。</p>
<p> 〔淳风等按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等 数十五约之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，义由于此。〕 今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗一升三 十五分升之三十一。</p>
<p> 术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等 数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕 今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽二斗三升。</p>
<p> 术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。</p>
<p> 〔淳风等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此 率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕 今有菽二斗，欲为豉。问得几何？答曰：为豉二斗八升。</p>
<p> 术曰：以菽求豉，七之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数 九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕 今有麦八斗六升七分升之三，欲为小<麦啇>。问得几何？答曰：为小<麦啇> 二斗五升一十四分升之一十三。</p>
<p> 术曰：以麦求小<麦啇>，三之，十而一。</p>
<p> 〔淳风等按：小<麦啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从 省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。〕 今有麦一斗，欲为大<麦啇>。问得几何？答曰：为大抃一斗二升。</p>
<p> 术曰：以麦求大<麦啇>，六之，五而一。</p>
<p> 〔淳风等按：大<麦啇>之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等 数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。〕 今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。</p>
<p> 〔瓴甓，砖也。〕 问枚几何？答曰：一枚八钱九分钱之八。</p>
<p> 今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五 钱四十七分钱之三十五。</p>
<p> 经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一。</p>
<p> 〔此术犹经分。</p>
<p> 淳风等按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。</p>
<p> 但以一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按：此 今有之义。出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求 数。一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率为法，以所出之钱为实，实如法得 一枚钱。不尽者，等数而命分。〕 今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之，问斗几何？ 答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。</p>
<p> 今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？答曰：一丈， 一百一十八钱六十一分钱之二。</p>
<p> 今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？答曰： 一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。</p>
<p> 今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？ 答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。</p>
<p> 术曰：以求所率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。</p>
<p> 〔淳风等按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘 之为实。实如法而一，有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数 不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之。〕 今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其 四十八个，个七钱；其三十个，个八钱。</p>
<p> 今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？ 答曰：其二钧八斤，斤五钱；其一石一十斤，斤六钱。</p>
<p> 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石 率之，问各几何？答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；其一石一钧二 十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。</p>
<p> 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧 率之，问各几何？答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；其一石二钧二十 斤八两二十铢，钧二千一十三钱。</p>
<p> 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤 率之，问各几何？答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；其二十斤九两 一铢，斤六十八钱。</p>
<p> 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两 率之，问各几何？答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；其一钧一 十斤五两四铢，两五钱。</p>
<p> 其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法 而一。不满法者，反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、 实，各得其积数，余各为铢。</p>
<p> 〔其率知，欲令无分。按：出钱五百七十六，买竹七十八个，以除钱，得七， 实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数，故曰实贵也。</p>
<p> 本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、 钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢者，谓石、钧、斤、两 积铢除实，又以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。〕 今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢 率之，问各几何？答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；其一石一钧七斤 一十二两一十八铢，六铢一钱。</p>
<p> 今有出钱六百二十，买羽二千一百翭。</p>
<p> 〔翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。〕 欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱； 其九百六十翭，四翭钱。</p>
<p> 今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答 曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。</p>
<p> 反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减 法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。</p>
<p> 〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱， 一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘 钱，反其率也。</p>
<p> 淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其 率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满 法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。</p>
<p> 法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多， 乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕</p>