卷九 句股--九章算术.
<p> ○句股（以御高深广远） 今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。</p>
<p> 今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。</p>
<p> 今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。</p>
<p> 句股 〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。将以施于诸 率，故先具此术以见其源也。〕 术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。</p>
<p> 〔句自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动 也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。〕 又，股自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即句。</p>
<p> 〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。句方于内，则句短于股。令股自乘， 以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。〕 又，句自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即股。</p>
<p> 〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。〕 今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。</p>
<p> 术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。其余，开方除之，即广。</p>
<p> 〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。〕 今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？ 答曰：二丈九尺。</p>
<p> 术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。</p>
<p> 〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。</p>
<p> 解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众 句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。句与股求弦，亦无围。</p>
<p> 弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之 中而已。可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。</p>
<p> 又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方 其里。股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。</p>
<p> 是故差之与并用除之，短、长互相乘也。〕 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭 长各几何？答曰：水深一丈二尺。葭长一丈三尺。</p>
<p> 术曰：半池方自乘， 〔此以池方半之，得五尺为句；水深为股；葭长为弦。以句、弦见股，故令 句自乘，先见矩幂也。〕 以出水一尺自乘，减之。</p>
<p> 〔出水者，股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕 余，倍出水除之，即得水深。</p>
<p> 〔差为矩幂之广，水深是股。令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也。〕 加出水数，得葭长。</p>
<p> 〔淳风等按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。〕 今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？ 答曰：一丈二尺六分尺之一。</p>
<p> 术曰：以去本自乘， 〔此以去本八尺为句，所求索者，弦也。引而索尽、开门去阃者，句及股弦 差，同一术。去本自乘者，先张矩幂。〕 令如委数而一。</p>
<p> 〔委地者，股弦差也。以除矩幂，即是股弦并也。〕 所得，加委地数而半之，即索长。</p>
<p> 〔子不可半者，倍其母。加差者并，则两长。故又半之。其减差者并，而半 之，得木长也。〕 今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几 何？答曰：五丈五寸。</p>
<p> 术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。所得，以加却行尺数而半之， 即木长数。</p>
<p> 〔此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差。为术之意与 系索问同也。〕 今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？ 答曰：材径二尺六寸。</p>
<p> 术曰：半锯道自乘， 〔此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半 也。</p>
<p> 淳风等按：下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者，锯道也。〕 如深寸而一，以深寸增之，即材径。</p>
<p> 〔亦以半增之。如上术，本当半之，今此皆同半，故不复半也。〕 今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？答曰：一丈一寸。</p>
<p> 术曰：以去阃一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半， 即得门广。</p>
<p> 〔此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差。求弦， 故当半之。今次以两弦为广数，故不复半之也。〕 今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？答曰：广 二尺八寸。高九尺六寸。</p>
<p> 术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实。半其余，以开方除 之。所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高。</p>
<p> 〔令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差。</p>
<p> 按图为位，弦幂适满万寸。倍之，减句股差幂，开方除之。其所得即高广并数。</p>
<p> 以差减并而半之，即户广。加相多之数，即户高也。今此术先求其半。一丈自乘 为朱幂四、黄幂一。半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二，减实，半其余，有朱 幂二、黄幂四分之一。其于大方者四分之一。故开方除之，得高广并数半。减差 半，得广；加，得户高。又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为 积。盖先见其弦，然后知其句与股。今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂。令半 相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂。而差数无者，此各自乘之， 而与相乘数，各为门实。及股长句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦幂五 十，开方除之，得七尺，有余一，不尽。假令弦十，其幂有百，半之为句、股二 幂，各得五十，当亦不可开。故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理， 亦可言相近耳。其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之， 其余，开方除之，为句股差。加于合而半，为股；减差于合而半之，为句。句、 股、弦即高、广、邪。其出此图也，其倍弦为袤。令矩句即为幂，得广即句股差。</p>
<p> 其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差。以句股差幂减弦幂，半其余，差为从 法，开方除之，即句也。〕 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？答曰：四尺二十分尺 之一十一。</p>
<p> 术曰：以去本自乘， 〔此去本三尺为句，折之余高为股，以先令句自乘之幂。〕 令如高而一。</p>
<p> 〔凡为高一丈为股弦并，以除此幂得差。〕 所得，以减竹高而半余，即折者之高也。</p>
<p> 〔此术与系索之类更相反覆也。亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自 乘为矩幂，减之，余为实。倍高为法，则得折之高数也。〕 今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙 会。问甲、乙行各几何？答曰：乙东行一十步半，甲斜行一十四步半及之。</p>
<p> 术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲斜行率。斜行率减于七自乘， 余为南行率。以三乘七为乙东行率。</p>
<p> 〔此以南行为句，东行为股，斜行为弦，并句弦率七。欲引者，当以股率自 乘为幂，如并而一，所得为句弦差率。加并之半为弦率，以差率减，余为句率。</p>
<p> 如是或有分，当通而约之乃定。术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连 之方。股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广。今有相引之直，加损同上。</p>
<p> 其图大体以两弦为袤，句弦并为广。引黄断其半为弦率。列用率七自乘者，句弦 并之率。故弦减之，余为句率。同立处是中停也，皆句弦并为率，故亦以句率同 其袤也。〕 置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙东行率乘之；各自为实。实 如南行率而一，各得行数。</p>
<p> 〔南行十步者，所有见句求见弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。〕 今有句五步，股十二步。问句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。</p>
<p> 术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。实如法而一，得方一步。</p>
<p> 〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。令黄幂袤于隅中，朱、青各以其类，令 从其两径，共成修之幂：中方黄为广，并句、股为袤。故并句、股为法。幂图： 方在句中，则方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率也。句面之小句、 股，股面之小句、股各并为中率，令股为中率，并句、股为率，据见句五步而今 有之，得中方也。复令句为中率，以并句、股为率，据见股十二步而今有之，则 中方又可知。此则虽不效而法，实有法由生矣。下容圆率而似今有、衰分言之， 可以见之也。〕 今有句八步，股一十五步。问句中容圆径几何？答曰：六步。</p>
<p> 术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法。以句乘股，倍之 为实。实如法，得径一步。</p>
<p> 〔句、股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二。倍之，则为各四。可用画于小 纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成修幂：圆径为广，并句、股、弦 为袤。故并句、股、弦以为法。又以圆大体言之，股中青必令立规于横广，句、 股又邪三径均。而复连规，从横量度句、股，必合而成小方矣。又画中弦以规 除会，则句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圆径之 半。其数故可衰。以句、股、弦为列衰，副并为法。以句乘未并者，各自为实。</p>
<p> 实如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小句可知。言 虽异矣，及其所以成法之实，则同归矣。则圆径又可以表之差并：句弦差减股 为圆径；又，弦减句股并，余为圆径；以句弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦 圆径也。〕 今有邑方二百步，各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木？ 答曰：六百六十六步大半步。</p>
<p> 术曰：出东门步数为法， 〔以句率为法也。〕 半邑方自乘为实，实如法得一步。</p>
<p> 〔此以出东门十五步为句率，东门南至隅一百步为股率，南门东至隅一百步 为见句步。欲以见句求股，以为出南门数。正合半邑方自乘者，股率当乘见句， 此二者数同也。〕 今有邑东西七里，南北九里，各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几 何步而见木？答曰：三百一十五步。</p>
<p> 术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实 如法而一。</p>
<p> 〔此以东门南至隅四里半为句率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里 半为见股。所问出南门即见股之句。为术之意，与上同也。〕 今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。</p>
<p> 问邑方几何？答曰：一里。</p>
<p> 术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。</p>
<p> 〔按：半邑方，令半方自乘，出门除之，即步。令二出门相乘，故为半方邑 自乘，居一隅之积分。因而四之，即得四隅之积分。故为实，开方除，即邑方也。〕 今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而 西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？答曰：二百五十步。</p>
<p> 术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。</p>
<p> 〔此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为句，以出北门二十步为句率， 北门至西隅为股率，半广数。故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂。然此幂 居半，以西行。故又倍之，合东，尽之也。〕 并出南、北门步数，为从法，开方除之，即邑方。</p>
<p> 〔此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑 方为袤，故连两广为从法，并，以为隅外之幂也。〕 今有邑方一十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出：乙东出；甲南出，出 门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三。问甲、乙行 各几何？答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行 四千三百一十二步半。</p>
<p> 术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率；邪行率减于五自乘者， 余为南行率；以三乘五为乙东行率。</p>
<p> 〔求三率之意与上甲乙同。〕 置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。</p>
<p> 〔今半方，南门东至隅五里。半邑者，谓为小股也。求以为出南门步数。故 置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。〕 以增邑方半，即南行。</p>
<p> 〔半邑者，谓从邑心中停也。〕 置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。</p>
<p> 实如法，南行率，得一步。</p>
<p> 〔此术与上甲乙同。〕 今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后 右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。</p>
<p> 术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。</p>
<p> 〔此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为 见句。所问木去人者，见句之股。股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰自乘之。</p>
<p> 以三寸为法。实如法得一寸。〕 今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里， 望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸 太半寸。</p>
<p> 术曰：置木高，减人目高七尺， 〔此以木高减人目高七尺，余有八丈八尺，为句率；去人目三里为股率；山 去木五十三里为见股，以求句。加木之高，故为山高也。〕 余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得，加木高， 即山高。</p>
<p> 〔此术句股之义。〕 今有井，径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。</p>
<p> 问井深几何？答曰：五丈七尺五寸。</p>
<p> 术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸 为法。实如法得一寸。</p>
<p> 〔此以入径四寸为句率，立木五尺为股率，井径之余四尺六寸为见句。问井 深者，见句之股也。〕 今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。</p>
<p> 问户高、广、邪各几何？答曰：广六尺。高八尺。邪一丈。</p>
<p> 术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得，加从不出，即户广； 〔此以户广为句，户高为股，户邪为弦。凡句之在股，或矩于表，或方于里。</p>
<p> 连之者举表矩而端之。又从句方里令为青矩之表，未满黄方。满此方则两端之邪 重于隅中，各以股弦差为广，句弦差为袤。故两端差相乘，又倍之，则成黄方之 幂。开方除之，得黄方之面。其外之青知，亦以股弦差为广。故以股弦差加，则 为句也。〕 加横不出，即户高；两不出加之，得户邪。</p>